第6章 第3节 等比数列（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

 

　等比数列

1　通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.

2　探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.

3　能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.

4　体会等比数列与指数函数的关系.

知识梳理

1.等比数列的定义式：＝q.

(1)等比数列中的任何一项都不为0，且公比q≠0；(2)若一个数列是常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如0，0，0，….

2.等比中项

(1)定义：a，G，b成等比数列，则G叫a和b的等比中项.

(2)公式：a，G，b成等比数列⇔G2＝ab.

(3)性质：{an}是等比数列⇒a＝anan＋2或a＝an－man＋m(n∈N*，m∈N*，n>m).

并不是任意两个实数都有等比中项，只有同号的两个非零实数才有等比中项.

3.等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1.

(2)前n项和公式：Sn＝

4.等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*).

(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.

(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列.

(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…成等比数列，公比为qk.

(5)若公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，其公比为qn.

在等比数列{an}中，若ak·al＝am·an(k，l，m，n∈N*)，则不一定有k＋l＝m＋n成立，如当数列{an}是非零常数列时，此结论不成立.

学霸笔记

1.等比数列与指数型函数的关系

当q＞0且q≠1时，an＝·qn可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上.

对于非常数列的等比数列{an}的前n项和Sn＝＝－qn＋，若设a＝，则Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0，q≠1).由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝－aqx＋a图象上一系列孤立的点.

对于常数列的等比数列，即q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1.由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝a1x图象上一系列孤立的点.

2.已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B，其中q≠0，且q≠1，AB≠0，则A＝－B是数列{an}为等比数列的充要条件.

3.在数列{an}中，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列.

进阶诊断

1.判断正误

(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列.(　×　)

(2)任意两个实数都有等比中项.(　×　)

(3)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列.(　×　)

(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　×　)

2.(多选)已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是(　AD　)

A．  B．{log2a}　

C．{an＋an＋1}  D．{an＋an＋1＋an＋2}

3.(选择性必修第二册·P54T3改编)预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是Pn＝P0(1＋k)n(k>－1)，其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，如果在某一时期k∈(0，0.01)，那么在这期间人口数(　A　)

A．呈上升趋势  B．呈下降趋势

C．摆动变化  D．不变

4.(选择性必修第二册·P37T4改编)已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64，则这个等比数列的首项为2或8，公比为2或.

5.设Sn为等比数列{an}的前n项和，且8a2＋a5＝0，则＝－11.

6.(选择性必修第二册·P41T10改编)已知数列{an}为等比数列，a1＝1 024，公比q＝.若Tn是数列{an}的前n项积，则当Tn最大时，n＝10或11.

　等比数列的基本运算·········································自主练通

1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝－8，a7＝，则S6＝(　C　)

A．－  B．

C．  D．

解析：设等比数列{an}公比为q，

则a7＝a2q5，又a2＝－8，a7＝，

∴q＝－，故a1＝16，又Sn＝，

即S6＝＝＝.

2.(2020·全国卷Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　B　)

A．2n－1  B．2－21－n

C．2－2n－1  D．21－n－1

解析：(方法一)设等比数列{an}的公比为q，

则由解得

所以Sn＝＝2n－1，an＝a1qn－1＝2n－1，

所以＝＝2－21－n.

(方法二)设等比数列{an}的公比为q，

因为＝＝＝＝2，所以q＝2，

所以＝＝＝2－21－n.

3.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1a3＝4，S3＝7，则a4＝(　D　)

A．8  B．

C．1  D．8或

解析：设等比数列{an}公比为q(q>0)，

∴若q＝1时，显然{an}为常数列an＝2，

则S3＝6≠7，不合题意，故q≠1；

∴解得或

即a4＝8或a4＝.

4.(多选)设等比数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知a7＝a6＋2a5，且存在两项am，an，使得 ＝4a1，则下列结论正确的是(　ABC　)

A．an＋1＝2an  B．Sn＝an＋1－a1

C．m＋n＝6  D．mn＝8

解析：设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，

由已知，a1q6＝a1q5＋2a1q4，整理得q2－q－2＝0，

解得q＝2或q＝－1(舍去)，

所以an＋1＝qan＝2an，