第5章 第4节 正弦定理、余弦定理及应用举例（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

　正弦定理、余弦定理及应用举例

1　借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理.

2　能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题．

知识梳理

1.正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理.在根据另一边所对角的正弦值，确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题.

2.三角形的面积公式

(1)S＝ah(h表示边a上的高).

(2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C．

(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆的半径).

学霸笔记

在△ABC中，常用以下结论：

(1)A＋B＋C＝π.

(2)在三角形中，大边对大角，大角对大边.

(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin .

(5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C．

(6)A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.

进阶诊断

1.判断正误

(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　×　)

(2)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形.(　×　)

(3)在△ABC中，＝.(　√　)

(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.(　√　)

2.(必修第二册·P44T1(2)改编)在△ABC中，已知a＝5，b＝2，C＝，则c＝(　A　)

A．  B．19 

C．  D．39

3.在△ABC中，若sin 2A＝sin 2C，则△ABC的形状是(　D　)

A．等边三角形

B．等腰三角形

C．直角三角形

D．等腰三角形或直角三角形

4.(必修第二册·P54T22改编)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C－b－c＝0.则A＝60°；若a＝2，且△ABC的面积为，则b＝2.

5.(必修第二册·P49例9改编)如图，A，B两点都在河的对岸，且A，B两点均不可到达，要测出A，B两点间的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为km.

6.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则C＝.

　利用正弦、余弦定理解三角形··································自主练通

1.(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　D　)

A．1  B．

C．  D．3

解析：由余弦定理，得cos 120°＝.化简得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去).

2.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝.

解析：∵bsin A＋acos B＝0，∴＝.

由正弦定理＝，得－cos B＝sin B，

∴tan B＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝.

3.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝2.

解析：由题意，得S△ABC＝acsin B＝，

即ac·＝，解得ac＝4.

由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝3ac－2ac·＝8，

解得b＝2(负值已舍去).

　正弦定理、余弦定理的应用····································多维贯通

　判断三角形的形状

(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin A＋bsin B<csin C，则△ABC的形状是(　C　)

A．锐角三角形  B．直角三角形

C．钝角三角形  D．不确定

(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　B　)

A．锐角三角形  B．直角三角形

C．钝角三角形  D．不确定

解析：(1)由正弦定理得a2＋b2<c2，再由余弦定理，得cos C＝<0，∴C为钝角.故△ABC为钝角三角形.

(2)由正弦定理，得sin B cos C＋cos B sin C＝sin2A，

即sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，

∵A∈(0，π)，且sinA≠0，

∴sin A＝1，∴A＝，

故△ABC为直角三角形.

变式　若将本例(1)中的条件“asin A＋bsin B<csin C”改为“a2＋b2－c2＝ab且2cos Asin B＝sin C”，则△ABC的形状如何？

解：由正弦定理，得＝，

由2cos Asin B＝sin C，有cos A＝＝.

又由余弦定理，得cos A＝，