第5章 第3节 平面向量的数量积及综合应用（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

　平面向量的数量积及综合应用

1　理解平面向量数量积的概念及其物理意义.

2　了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.

3　掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

4　能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

5　会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题以及其他一些实际问题.

知识梳理

1．平面向量数量积的有关概念

(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作向量＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π叫做向量a与b的夹角．

只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是与的夹角，∠BAD才是与的夹角．

(2)数量积的定义：已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.

规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.

(3)投影向量：

①如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，做如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，则称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．

②设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cos θ e.

2．向量数量积的性质及其坐标表示

已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则a·b＝x1x2＋y1y2，e是与b方向相同的单位向量.

向量平行与垂直的坐标公式不要记混．

3．平面向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律)．

(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

学霸笔记

1．平面向量数量积运算的常用公式

(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；

(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；

(3)a2＋b2＝0⇒a＝b＝0.

2．有关向量夹角的两个结论

(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；

(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．

3．a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然a·b＝0，但不能说a⊥b.

进阶诊断

1．判断正误

(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　√　)

(2)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　×　)

(3)(a·b)c＝a(b·c)．(　×　)

(4)两个向量的夹角的范围是.(　×　)

2．已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的(　B　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．(必修第二册·P61T13(4)改编)若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为(　C　)

A．30°  B．60°

C．120°  D．150°

4．(多选)在△ABC中，＝c，＝a，＝b，下列命题中正确的是(　ACD　)

A．若a·b＝0，则△ABC为直角三角形

B．若a·b<0，则△ABC为钝角三角形

C．若a·b＝c·b，则△ABC为等腰三角形

D．若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则△ABC为直角三角形

5．(必修第二册·P60T8改编)已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1)，当λ＝－1时，a＋λb与a垂直．

6．若平面向量a，b，c两两所成的夹角相等，且|a|＝1，|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝2或5．

　平面向量数量积的运算·······································自主练通

1．若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝(　D　)

A．0　 B．4　

C．－　 D．－

解析：因为向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，所以2k－1－4k＝0，解得k＝－，m·n＝(－2，－)·(4，1)＝－.

2．已知a＝(x，1)，b＝(－2，4)，若(a＋b)⊥b，则x等于12．

解析：因为a＝(x，1)，b＝(－2，4)，所以a＋b＝(x－2，5)．又(a＋b)⊥b，所以(x－2)·(－2)＋20＝0，所以x＝12.

3．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝12．

解析：(方法一：几何法)因为·＝2·，

所以·－·＝·，

所以·＝·，

因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，

所以2||＝||·||cos ，化简得||＝2.

故·＝·(＋)＝||2＋·

＝(2)2＋2×2cos ＝12.

(方法二：坐标法)如图，建立平面直角坐标系xAy.

依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，则由·＝2·，

得(n，0)·(m＋2，m)＝2(n，0)·(m，m)，

所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.

故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.

方　法　规　律