第5章 第2节 平面向量基本定理与坐标表示（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

　平面向量基本定理与坐标表示

1　理解平面向量基本定理及其意义.

2　借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.

3　会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.

4　能用坐标表示平面向量共线的条件.

知识梳理

1．平面向量基本定理

(1)基底：不共线的向量{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

(2)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

(1)基底必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．

(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．

(3)如果对于一组基底，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到

2．平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取作为基底．对于平面内的任一向量a由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.

3．平面向量的坐标运算

(1)向量与坐标之间用等号连接．

(2)点的坐标，是在表示点的字母后直接加坐标．

(3)是用B点的横纵坐标减去A点的横纵坐标，既有方向的信息也有大小的信息，其向量位置不确定．

(4)a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2.

4．向量共线的坐标表示

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

(1)当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．

(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔存在不全为零的x，y∈R，使xa＋yb＝0⇔x1y2－x2y1＝0.

学霸笔记

1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为()．

3．已知△ABC的顶点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为(，)．

进阶诊断

1．判断正误

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　×　)

(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　)

(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．(　√　)

(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是＝.(　×　)

(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　√　)

2．(多选)(必修第二册·P60T2(6)改编)在下列各组向量中，不可以作为基底的是(　ACD　)

A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)

B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)

C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)

D．e1＝(2，－3)，e2＝(，－)

3．已知向量a＝(1，1)，2a＋b＝(4，3)，c＝(x，－2)，若b∥c，则x的值为(　B　)

A．4　 B．－4　

C．2　 D．－2

4．(必修第二册·P60T5改编)已知点A(1，1)，B(－1，0)，C(0，1)，若＝，则点D的坐标是(－2，0)．

5．(必修第二册·P37T11改编)如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点(AF＝AD，BG＝BC)．设＝a，＝b，则＝－a＋b，＝a＋b．(用a，b表示)

6．在▱ABCD中，AC为一条对角线，＝(2，4)，＝(1，3)，则向量的坐标为(－3，－5)．

解析：因为＝－＝(－1，－1)，所以＝－＝－＝(－3，－5).

　平面向量的坐标运算·········································自主练通

1．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为(　B　)

A．(－8，1) B．(－1，－)

C．(1，) D．(8，－1)

解析：设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，

而＝(－8，1)＝(－4，)，

所以解得所以P(－1，－)．

2．已知点A(－1，1)，B(0，2)，若向量＝(－2，3)，则向量＝(　D　)

A．(3，－2) B．(2，－2)

C．(－3，－2) D．(－3，2)

解析：由已知，得＝－＝(1，1)，则＝－＝(－2，3)－(1，1)＝(－3，2)．

3．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝(　A　)

A．  B．

C．3  D．2

解析：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，