第5章 第1节 平面向量概念与线性运算（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

　

1　通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.

2　理解平面向量的几何表示和基本要素.

3　借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.

4　通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义.

5　了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.

知识梳理

1．向量的有关概念

向量概念的四点注意

(1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0；(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同；(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性；(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上．

2．向量的线性运算

向量线性运算的三点提醒

(1)两个向量的和仍然是一个向量；(2)利用三角形法则时，两向量要首尾相连，利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点；(3)当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用．

3．向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．

学霸笔记

1．对于任意两个向量a，b，都有：

(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；

(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．

当a，b不共线时，

(1)的几何意义是三角形中任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；

(2)的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系．

2．向量线性运算的常用结论

(1)在△ABC中，若D是BC的中点，则＝(＋)；

(2)O为△ABC的重心的充要条件是＋＋＝0；

(3)在四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，则＋＝2.

3．三点共线的条件

A，B，C三点共线，O为A，B，C所在直线外任意一点，则＝λ＋μ且λ＋μ＝1.

进阶诊断

1．判断正误

(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(　√　)

(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(　√　)

(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　×　)

(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　√　)

2．(多选)(必修第二册·P60T2(4)改编)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中不正确的是(　ABD　)

A．a与－λa的方向相反

B．|－λa|≥|a|

C．a与λ2a的方向相同

D．|－λa|＝|λ|a

3．(必修第二册·P60T2(5)改编)设M是▱ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则＋＋＋＝(　D　)

A．  B．2

C．3  D．4

4.如图所示，在△ABC中，AD＝AB，BE＝BC，则等于(　D　)

A．－  B．－

C．－  D．－

5．(必修第二册·P16T3改编)已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝e1－2e2，b＝2e1＋ke2，若a与b是共线向量，则实数k的值为－4．

6．若四边形ABCD满足∥，且||＝||，则四边形ABCD的形状是平行四边形或等腰梯形．