第5章 专题2 高考中的三角函数与解三角形问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

专题二　高考中的三角函数与解三角形问题

题型一　三角函数的图象和性质

在①函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，②函数y＝f(x)的图象关于点P(，0)对称，③函数y＝f(x)的图象经过点Q(，－1)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.

问题：已知函数f(x)＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ(ω＞0，|φ|＜)最小正周期为π，且________，判断函数f(x)在(，)上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时x的值；若不存在，说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解：f(x)＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ＝sin(ωx＋φ)，

由已知函数f(x)的周期T＝＝π，求得ω＝2，

所以f(x)＝sin(2x＋φ)，

若选①，则有2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，

解得φ＝kπ－(k∈Z)，

又因为|φ|＜，所以k＝0，φ＝－，

所以f(x)＝sin(2x－)，

当x∈(，)时，t＝2x－∈(，)，

所以当t＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值，最大值为1.

若选②，则有2×＋φ＝kπ(k∈Z)，

解得φ＝kπ－(k∈Z)，

又因为|φ|＜，所以k＝0，φ＝－，

所以f(x)＝sin(2x－)，

当x∈(，)时，t＝2x－∈(0，)，

所以当t＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值，最大值为1.

若选③，则有2×＋φ＝2kπ－(k∈Z)，

解得φ＝2kπ－(k∈Z)，

又因为|φ|＜，所以k＝1，φ＝，

所以f(x)＝sin(2x＋)，

当x∈(，)时，t＝2x＋∈(，)，

显然，函数f(x)在该区间上没有最大值.

练1　设ω>0，函数f(x)＝sin(ωx＋)在上是减函数.

(1)求ω；

(2)比较f(－6)，f(0)，f(6)的大小.

解：(1)因为ω>0，x∈，

所以ωx＋∈.

由题设可得⊆(k∈Z).

于是

解得24k＋2≤ω≤k＋2且k∈Z.

因为ω>0，所以

可得－＜k≤0且k∈Z，

所以k＝0.于是ω＝2.

(2)由(1)可知f(x)＝sin(2x＋)，故f(x)图象关于x＝对称，

所以f(0)＝f().

又f(x)最小正周期为π，所以f(－6)＝f(2π－6).

f(6)＝f(6－2π)＝f(2×－6＋2π)＝f(－6).

因为，2π－6，－6∈，

2π－6＜＜－6，f(x)在上是减函数.

所以f(2π－6)＞f()＞f(－6)，

即f(－6)＞f(0)＞f(6).

题型二　解三角形问题

(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin ＝bsin A.

(1)求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围.

解：(1)由题设及正弦定理得sin Asin ＝sin Bsin A.

因为sin A≠0，所以sin ＝sin B.

由A＋B＋C＝180°，可得sin ＝cos，

故cos＝2sin cos.

因为cos≠0，所以sin ＝，所以B＝60°.

(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.

由正弦定理得a＝＝＝＋.

由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.

由(1)知A＋C＝120°，得30°＜C＜90°，所以＜a＜2，从而＜S△ABC＜.

因此，△ABC面积的取值范围是(，).

练2　已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：

①＝；②cos 2A＋2cos2＝1；③a＝；④b＝2.

(1)满足有解三角形的序号组合有哪些？