第5章 第5节 数系的扩充与复数的引入（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

　

1　通过方程的解，认识复数.

2　理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.

3　掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.

知识梳理

1.复数的定义及分类

(1)复数的定义

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.

(2)复数的分类

(1)虚数不能比较大小；

(2)复数集包含实数集与虚数集.

2.复数的有关概念

(1)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).

(2)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R).

(3)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R).

3.复数的几何意义

复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应的关系.

复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi).

4.复数的运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：

(1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

(2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

(3)z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

(4)＝＝＝(c＋di≠0).

学霸笔记

(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i，

z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1||z2|，＝，|zn|＝|z|n.

进阶诊断

1.判断正误

(1)方程x2＋x＋1＝0没有解.(　×　)

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　×　)

(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(　×　)

(4)原点是实轴与虚轴的交点.(　√　)

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(　√　)

2.(必修第二册·P95T1(2)改编)复数的共轭复数是(　B　)

A．i＋2  B．i－2

C．－2－i  D．2－i

3.复数的虚部是(　B　)

A．－1  B．1

C．i  D．－i

4.(必修第二册·P94T1(3)改编)当<m<1时，复数m(3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于(　D　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

5.(必修第二册·P95T4改编)已知复数z与(z＋2)2－8i都是纯虚数，则z＝－2i.

6.已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝2+i.

　复数的概念················································自主练通

1.若复数(2－i)(a＋i)的实部与虚部互为相反数，则实数a＝(　D　)

A．3  B．

C．－  D．－3

解析：(2－i)(a＋i)＝(2a＋1)＋(2－a)i，因为该复数的实部与虚部互为相反数，所以(2a＋1)＋(2－a)＝0，解得a＝－3.

2.(2021·浙江卷)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a＝(　C　)

A．－1  B．1

C．－3  D．3

解析：由(1＋ai)i＝3＋i，得－a＋i＝3＋i，所以－a＝3，即a＝－3.

3.(多选)若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论不正确的是(　ABD　)

A．z的虚部为－i  B．|z|＝2

C．z2为纯虚数  D．z的共轭复数为－1－i

4.(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝(　D　)

A．0  B．1

C．  D．2

　复数的几何意义············································讲练融通

(1)(2021·新高考卷Ⅱ)复数在复平面内对应的点所在的象限为(　A　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

(2)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应点的坐标为(x，y)，则(　C　)

A．(x＋1)2＋y2＝1  B．(x－1)2＋y2＝1

C．x2＋(y－1)2＝1  D．x2＋(y＋1)2＝1

解析：(1)＝＝＝＋i，其在复平面内对应点的坐标为(，)，在第一象限.

(2)由已知条件，可得z＝x＋yi.

∵|z－i|＝1，∴|x＋yi－i|＝1，∴ x2＋(y－1)2＝1.

练1　如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1·z2对应的点位于(　D　)

A．第一象限  B．第二象限