第4章 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

　 1　理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tan α＝. 2　借助单位圆的对称性，利用定义推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 知识梳理 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)． (2)商数关系：tan α＝(α≠kπ＋，k∈Z)． (1)平方关系的作用：实现同角的正弦值与余弦值之间的转化，利用该公式求值，要注意确定角的终边所在的象限，从而判断三角函数值的符号． (2)商数关系的作用：弦切互化． 2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 学霸笔记 1．诱导公式的记忆口诀 奇变偶不变，符号看象限． 2．同角三角函数的基本关系式的常见变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α(α≠＋kπ，k∈Z)． 进阶诊断 1．判断正误 (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　) (2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　×　) (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　×　) (4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　×　) 2．(必修第一册·P194T5改编)已知sin (＋α)＝，则cos α的值为(　C　) A．－ B．－ C． D． 3．已知sin(π－α)＝－，且α∈(－，0)，则tan(2π－α)等于(　A　) A． B．－ C． D．－ 4．(必修第一册·P186T15改编)已知tan α＝－3，则的值为． 5．(必修第一册·P186T16改编)化简：＋(α为第二象限角)＝－． 6．已知sin α＋cos α＝－，且0<α<π，则tan(2π＋α)的值为－． 7．已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是{2，－2}. 　诱导公式及应用 自主练通 1．点A(sin 2 021°，cos 2 021°)在直角坐标平面上位于(　C　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：sin 2 021°＝sin 221°＝－sin 41°＜0， cos 2 021°＝cos 221°＝－cos 41°＜0. 2．已知cos(－θ)＝a，则cos(＋θ)＋sin(－θ)的值是0． 解析：因为cos(＋θ)＝cos＝－cos(－θ)＝－a， sin(－θ)＝sin ＝cos(－θ)＝a， 所以cos(＋θ)＋sin(－θ)＝0. 方　法　规　律 (1)利用诱导公式解题的一般思路 ①化绝对值大的角为锐角 ②角中含有±的整数倍时，用公式去掉的整数倍． (2)常见的互余和互补的角 互余的角 －α与＋α；＋α与－α；＋α与－α 互补的角 ＋θ与－θ；＋θ与－θ 提醒：对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角的终边所在的象限，防止三角函数值的符号及三角函数名称出错． 　同角三角函数基本关系的应用 多维贯通 　知弦求切 已知3sin α·tan α＋8＝0，α∈(，π)，则tan α＝－2． 解析：因为3sin α·tan α＋8＝0，α∈(，π)， 所以＋8＝0， 整理可得3cos2α－8cos α－3＝0， 解得cos α＝－或cos α＝3(舍去)． 所以sin α＝＝， 所以tan α＝＝－2. 变式　若将本例的条件改为“＝2，α∈(，π)”，求tan α的值． 解：因为＝2，所以sin α＝2＋2cos α. 两边平方，得sin2α＝4＋8cos α＋4cos2α， 即1－cos2α＝4＋8cos α＋4cos2α， 整理得5cos2α＋8cos α＋3＝0， 解得cos α＝－1或cos α＝－. 当cos α＝－1时，1＋cos α＝0，无意义，故舍去； 当cos α＝－时，sin α＝，所以tan α＝＝－. 方　法　规　律 (1)同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值，主要利用商数关系＝tan α和平方关系1＝sin2α＋cos2α； (2)在弦切互化时，要注意判断角