第4章 第1节 任意角、弧度制与任意角的三角函数（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

　 1　了解任意角的概念和弧度制. 2　能进行弧度与角度的互化. 3　理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 知识梳理 1．角的概念 (1)分类 (2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 2．弧度的定义和公式 (1)定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． (2)公式 ①弧度与角度的换算：360°＝2π rad，180°＝π rad. ②弧长公式：l＝αR． ③扇形面积公式：S扇形＝lR和S扇形＝αR2. (1)正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零． (2)在一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． 3．三角函数的概念 (1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝ (x≠0) (2)任意角的三角函数的定义(推广) 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． (3)三角函数值的符号 学霸笔记 1．终边相同的角不一定相等． 2．“锐角”不等同于“第一象限的角”，锐角的集合为{α|0°<α<90°}，第一象限的角的集合为{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}，小于90°的角包括锐角、负角、零角. 3.角的集合的表示形式不是唯一的，如{α|α＝2kπ＋，k∈Z}＝{β|β＝2kπ＋，k∈Z}． 4．三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 进阶诊断 1．判断正误 (1)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(　√　) (2)1弧度的角的大小和所在圆的半径大小有关．(　×　) (3)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(　×　) (4)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.(　×　) 2．(多选)在下列四个角中，属于第二象限角的是(　ABC　) A．160° B．480° C．－960° D．1 530° 3．(必修第一册·P176T7改编)已知α是第一象限角，那么是(　D　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角 4．(必修第一册·P175T6改编)已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，则该弧所对的圆心角(正角)的弧度数为1.2 ，该弧所在的扇形的面积为8640mm2. 5．(必修第一册·P180T3改编)已知角θ的终边过点P(－12，－5)，则sin θ＝－，cos θ＝－． 6．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－，则y＝－3． 　象限角与终边相同的角 自主练通 1．(多选)下列四个命题中，正确的是(　BCD　) A．－是第二象限角 B．是第三象限角 C．－400°是第四象限角 D．－315°是第一象限角 解析：－是第三象限角，故A错误；＝π＋，从而是第三象限角，故B正确；－400°＝－360°－40°，是第四象限角，故C正确；－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，故D正确． 2．下列与角终边相同的角的表达式中正确的是(　C　) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 解析：与角终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)或k·360°－315°(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用． 3．集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是(　C　) 解析：当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和≤α≤的终边相同；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边和π＋≤α≤π＋的终边相同． 4．若角α是第二象限角，则是第一或三象限角． 解析：因为α是第二象限角，所以＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角． 方　法　规　律 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角. (2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法：先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置. 　弧度制及其应用 讲练融通 一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.已知α＝，R＝10 cm，求扇形的面积． 解：由已知得α＝，R＝10 cm， ∴