第3章 第3节 导数与函数的极值、最值（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

　 1　掌握函数极值、最值的概念. 2　掌握求解函数的极值、最值的解题步骤. 3　能够求解关于函数极值、最值的综合问题. 知识梳理 1.函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 在点x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 在点x＝x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 (1)函数的极大值和极小值都可能有多个，极大值和极小值的大小关系不确定. (2)对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件. 2.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 学霸笔记 1.函数极值与导数的关系 (1)f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件.例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点. (2)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2).极大值与极小值之间无确定的大小关系. 2.函数极值与最值的关系 (1)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得；有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取. (2)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值. 进阶诊断 1.判断正误 (1)函数的极大值不一定比极小值大.(　√　) (2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.(　×　) (3)函数的极大值一定是函数的最大值.(　×　) (4)开区间上的单调连续函数无最值.(　√　) 2.可导函数在闭区间内的最大值必在何处取得(　C　) A．极值点 B．导数为0的点 C．极值点或区间端点 D．区间端点 3.(多选)函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，以下命题错误的是(　BD　) A．－3是函数y＝f(x)的极值点 B．－1是函数y＝f(x)的最小值点 C．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增 D．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零 4.(选择性必修第二册·P104T9改编)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为(　B　) A．6 B．2 C．2或6 D． 5.若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，m的值为4. 　利用导数求函数的极值问题 多维贯通 　根据函数的图象判断极值 (多选)已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则(　BD　) A．函数f(x)有极大值f(2) B．函数f(x)有极大值f(－2) C．函数f(x)有极小值f(－2) D．函数f(x)有极小值f(2) 解析：由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0； 当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f ′(x)<0； 当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值. 方　法　规　律 根据函数的图象判断极值的方法 根据已知条件，分情况确定导数为0的点，及在导数为0点处左右两侧导数的正负，从而确定极值类型. 练1　已知函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，导函数y＝f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数y＝f(x)在(a，b)内的极小值有(　A　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，由题图得，导函数值先负后正的点有1个.所以函数f(x)在区间(a，b)内极小值点的个数是1. 练2　(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是(　ABD　) A．f(a)＞f(e)＞f(d) B．函数f(x)在[a，b]上递增，在[b，d]上递减 C．函数f(x)的极值点为c，e D．函数f(x)的极大值为f(b) 解析：由题图可知，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0， 当x∈(c，e)时，f′(x)<0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0， 所以f