第3章 第1节 导数的概念与运算（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

　 1　理解导数的概念及几何意义. 2　掌握导数的运算. 3　会使用导数公式求解导数． 知识梳理 1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|， 即f′(x0)＝ ＝ . (2)几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义，是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 2.函数y＝f(x)的导函数 当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数).y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ . 3.导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且x≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f ′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，a≠1，x>0) f′(x)＝ f(x)＝ln x(x>0) f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x). (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x). (3)′＝(g(x)≠0). 5.复合函数的导数 对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x. 学霸笔记 1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. 2.熟记以下结论 (1)()′＝－； (2)′＝－(f(x)≠0)； (3)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x). 进阶诊断 1.判断正误 (1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同.(　×　) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0).(　×　) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(　√　) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(　×　) (5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x.(　×　) 2.(多选)(选择性必修第二册·P81习题T1，2改编)下列导数运算正确的是(　AD　) A．(xnex)′＝nxn－1ex＋xnex B．()′＝ C．()′＝ D．[(3x＋1)2ln(3x)]′＝6(3x＋1)ln(3x)＋ 3.如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　D　) 4.(选择性必修第二册·P78T3改编)曲线y＝x2＋在点(1，4)处的切线方程为x＋y－5＝0. 5.(选择性必修第二册·P81T6改编)已知函数f(x)满足f(x)＝f′()sin x－cos x，则f′()＝＋1. 6.已知函数f(x)＝(bx－1)ex＋a(a，b∈R).若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x，则a，b的值分别为a＝1，b＝2. 解析：由f(x)＝(bx－1)ex＋a得f′(x)＝ex(bx＋b－1)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x. f′(0)＝1，f(0)＝0，即b－1＝1，－1＋a＝0， 解得a＝1，b＝2. 　导数的计算 自主练通 1.(多选)下列求导运算正确的是(　ABD　) A．(3x)′＝3xln 3 B．(x2ln x)′＝2xln x＋x C．()′＝ D．(sin x·cos x)′＝cos 2x 解析：因为()′＝，所以C选项错误.其余都正确. 2.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(2)＋ln x，则f′(2)等于(　D　) A． B． C． D． 解析：∵f(x)＝2x2－3xf′(2)＋ln x， ∴f′(x)＝4x－3f′(2)＋， 将x＝2代入，得f′(2)＝8－3f′(2)＋，得f′(2)＝. 3.(2020·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝1. 解析：f′(x)＝，则f′(1)＝＝，解得a＝1. 4.已知f(x)＝sin (1－2cos2)，则f′(x)＝－cos x. 解析：因为f(x)＝sin (－cos)＝－sin x， 所以f′(x)＝(－sin x)′＝－(sin x)