第3章 专题1 第3课时 利用导数研究函数的零点问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

第三课时　利用导数研究函数的零点问题 函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点个数或范围.高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现. 　函数零点个数的判断问题 讲练融通 已知函数f(x)＝ln x＋＋1. (1)若函数f(x)在[1，e]上单调递增，求实数a的取值范围； (2)讨论函数f(x)零点的个数. 思维 导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象、数学运算等学科素养 思路点拨 (1)求出函数f(x)的定义域，由已知条件可得出f′(x)≥0对任意的x∈[1，e]恒成立，由参变量分离法得出a≤x对任意的x∈[1，e]恒成立，进而可求得实数a的取值范围； (2)由f(x)＝0可得出a＝－xln x－x，设g(x)＝－xln x－x，利用导数分析函数g(x)的单调性与极值，数形结合可得出实数a在不同取值下，函数f(x)的零点个数 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， ∵f(x)在[1，e]上单调递增，∴f′(x)＝≥0在x∈[1，e]上恒成立， ∴a≤x对∀x∈[1，e]恒成立，∴a≤1. 因此，实数a的取值范围是(－∞，1]. (2)由f(x)＝ln x＋＋1＝0， 可得a＝－xln x－x，令g(x)＝－xln x－x， 其中x＞0，则g′(x)＝－ln x－2. 令g′(x)＝0，可得x＝，列表如下： x (0，) (，＋∞) g′(x) ＋ 0 － g(x) 单调递增 极大值 单调递减 作出函数g(x)与直线y＝a的图象如图所示， 当0＜x＜时，g(x)＝－x(ln x＋1)＞0； 当x＞时，g(x)＝－x(ln x＋1)＜0. 由图可知，当a≤0或a＝时，函数f(x)只有一个零点； 当0＜a＜时，函数f(x)有两个零点； 当a＞时，函数f(x)没有零点. 方　法　规　律 利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 (1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)图象的草图，数形结合求解函数零点的个数； (2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数. 练1　已知函数fn(x)＝1＋x＋＋＋…＋(n∈N*). (1)证明：f3(x)单调递增且有唯一零点； (2)已知f2n－1(x)单调递增且有唯一零点，判断f2n(x)的零点个数. (1)证明：因为f3(x)＝1＋x＋＋， 所以f3′(x)＝1＋x＋＝(x＋1)2＋＞0， 所以f3(x)＝1＋x＋＋在R上单调递增. 又因为f3(－2)＝－＜0，f3(0)＝1＞0， 所以f3(x)有唯一零点. (2)解：因为f2n(x)＝1＋x＋＋＋…＋＋， 所以f′2n(x)＝1＋x＋＋＋…＋＝f2n－1(x)， 又因为f2n－1(x)单调递增且有唯一零点，设其零点为xn， 则当x∈(－∞，xn)时，f2n－1(x)<0， 当x∈(xn，＋∞)时，f2n－1(x)>0， 所以f2n(x)在(－∞，xn)上单调递减，在(xn，＋∞)上单调递增. 所以f2n(x)min＝f2n(xn)＝f2n－1(xn)＋， 因为f2n－1(xn)＝0， 所以f2n(x)≥＞0， 所以f2n(x)的零点个数为0. 　由函数零点个数求参数取值范围问题 讲练融通 (2021·全国甲卷)已知a＞0且a≠1，函数f(x)＝(x＞0). (1)当a＝2时，求f(x)的单调区间； (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围. 思维 导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象、数学运算等学科素养 思路点拨 (1)将a＝2代入求导，对分子因式分解后求解； (2)将曲线与直线交点个数转化为方程解的个数，再构造函数，将问题进一步转化为求函数的最大值问题 解：(1)当a＝2时，f(x)＝， 则f′(x)＝＝. ∴当x∈(0，)时，f′(x)＞0； 当x∈(，＋∞)时，f′(x)＜0. 即f(x)的单调递减区间为(，＋∞)， 单调递增区间为(0，). (2)要使曲线y＝f(x)与直线y＝1有2个交点， 则＝1有2个解，即＝有2个解. 令g(x)＝(x＞0)， 则g′(x)＝(x＞0). 令g′(x)＞0，解得0＜x＜e，此时g(x)单调递增； 令g′(x)＜0，解得x＞e，此时g(x)单调递减. 故g(x)max＝g(e)＝. 当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，且g(1)＝0，∴要使条件