第3章 专题1 第2课时 利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

第二课时　利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题 恒成立问题与有解问题是高考数学的重要知识，其中不等式恒成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等知识相交汇，综合考查学生分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，难度略大. 　分离参数法解不等式恒成立问题 讲练融通 已知函数f(x)＝(ax＋1)ex. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若a＝2，当x≥0时，f(x)≥kx，求k的取值范围. 思维 导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象、数学运算等学科素养 思路点拨 (1)先求导函数，然后分析导函数符号只与含参一次因式有关，所以对a分a＞0，a＝0，a＜0三种情况进行讨论； (2)分离参数k，将恒成立问题转为求最值解决 解：(1)因为f(x)＝(ax＋1)ex， 所以f′(x)＝aex＋(ax＋1)ex＝(ax＋a＋1)ex. 若a＝0，则f′(x)>0，f(x)是R上的增函数； 若a＞0，则当x＞时，f′(x)>0； 当x＜时，f′(x)＜0. 故f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(－∞，)； 若a＜0，则当x＞时，f′(x)<0； 当x＜时，f′(x)>0， 故f(x)的单调递减区间为(，＋∞)，单调递增区间为(－∞，). (2)当x＝0时，f(0)＝1≥0恒成立. 当x＞0时，原不等式等价于k≤. 令g(x)＝(x＞0)， 则g′(x)＝＝. 当0＜x＜时，g′(x)＜0，g(x)单调递减； 当x＞时，g′(x)＞0，g(x)单调递增， 故g(x)min＝g()＝4. 综上所述，k的取值范围为(－∞，4 ]. 方　法　规　律 1.分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路 用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题. 2.求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关”, 转化关 通过分离参数法，先转化为f(a)≥g(x)(或f(a)≤g(x))对∀x∈D恒成立，再转化为f(a)≥g(x)max(或f(a)≤g(x)min) 求最值关 求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题 练1　已知函数f(x)＝ln x－ax2＋1. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若a＝0，xf(x)>k(x－1)在(1，＋∞)上恒成立，求整数k的最大值. 解：(1)f′(x)＝－2ax＝(x>0). 当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 当a>0时，由f′(x)>0，得0<x< ， 则f(x)在(0，)上单调递增； 由f′(x)<0，得x> ， 则f(x)在( ，＋∞)上单调递减. 综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>0时，f(x)在(0， )上单调递增， 在( ，＋∞)上单调递减. (2)由题意，x(ln x＋1)>k(x－1)在(1，＋∞)上恒成立， 即k<(x>1). 令g(x)＝(x>1)， 则g′(x)＝. 令h(x)＝x－ln x－2(x>1)，则h′(x)＝1－>0， 所以h(x)在(1，＋∞)上为增函数. 因为h(2)＝－ln 2<0，h(3)＝1－ln 3＝ln<0， h(4)＝2－ln 4＝ln>0， 所以h(x)在(1，＋∞)上有唯一实数根m∈(3，4)， 使得m－ln m－2＝0. 当x∈(1，m)时，h(x)<0；当x∈(m，＋∞)时，h(x)>0. 即g(x)在(1，m)上单调递减， 在(m，＋∞)上单调递增， 所以g(x)在x＝m处取得极小值，也是最小值为 g(m)＝＝m， 所以k<m.由3<m<4，得整数k的最大值为3. 　等价转化法求参数范围 讲练融通 已知函数f(x)＝aln x＋x，g(x)＝xex－a. (1)若x＝1是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间； (2)若a＝1，证明f(x)≤g(x). 思维 导引 学科素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象、数学运算等学科素养 思路点拨 (1)先由解析式，得到函数定义域，求出其导函数，再由题中条件，得到f′(1)＝a＋1＝0，求出a，根据导数的方法即可求出函数单调性区间； (2)根据题意，构造函数h(x)＝f(x)－g(x)＝ln x＋x－xex＋1，x∈(0，＋∞)，对其求导，利用导数的方法判定函数单调性，求出其最大值，即可证明不等式成立 (1)解：由已知可得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋1； 因为x＝1是f(x)的极值点， 所以f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1， 此时f′(x)＝－＋1＝. 故当0＜x＜1时，f′(x)<0；当x＞1时，f′(x)>0