第2章 第8节 函数的应用(二)（Word教参）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

　 1　了解函数零点与方程解的关系. 2　了解函数零点存在定理. 3　在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 4　比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 知识梳理 1.函数的零点 (1)函数的零点的概念 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)方程、函数、图象之间的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点. 函数的零点的本质是方程f(x)＝0有实数解，因此，函数的零点不是点，而是一个实数.例如函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时，仅有一个实数解x＝－1，所以函数f(x)＝x＋1仅有一个零点－1. 2.函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件. 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点个数的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0)或(x2，0) 无交点 零点个数 2 1 0 4.函数模型 函数 模型 指数型函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 y＝axα＋b(a，b为常数，a≠0) 学霸笔记 1.若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在(a，b)上只有一个零点. 2.连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号. 3.周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点. 进阶诊断 1.判断正误 (1)若函数g＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.(　×　) (2)用二分法可求所有函数的零点.(　×　) (3)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用.(　√　) (4)对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好.(　√　) 2.(必修第一册·P155T4改编)函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　B　) A．(1，2) B．(2，3) C．(，1)和(3，4) D．(4，＋∞) 3.设f(x)在区间[a，b]上是连续的单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内(　D　) A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．必有唯一实根 4.(必修第一册·P156T13改编)若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1，1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是∪(－，). 5.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为－1. 6.(必修第一册·P154T1改编)某地今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝pqx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人数分别为74，78，83，你认为选择的模型更符合实际的是乙. 　函数零点所在区间的判定 自主练通 　函数零点所在区间的判定 1.设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　B　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：(方法一)因为f(1)＝0＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0， 所以函数f(x)的零点所在区间为(1，2). (方法二)函数f(x)的零点所在区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围.作出图象如图所示. 由图可知f(x)的零点所在的区间为(1，2). 2.设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　D　) A．在区间(，1)，(1，e)内均有零点 B．在区间(，1)，(1，e)内均无零点 C．在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间(，1)内无零点，在区间