3.3.2 抛物线的简单几何性质第1课时 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册　

3.3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质 第三章 圆锥曲线的方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 复习回顾 问题引入 与利用方程研究椭圆以及双曲线的几何性质类似，我们也用方程研究抛物线的几何性质. y2＝2px(p>0) 新知探索 抛物线的简单几何性质 1.范围 当x>0，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正方向相同，抛物线向右上方和右下方无线延伸． 范围 抛物线上的点M(x,y)，x≥0，y∈R． 新知探索 抛物线的简单几何性质 2.对称性 抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)，以-y代y，方程不变. 所以抛物线关于x轴对称．把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 新知探索 抛物线的简单几何性质 3.顶点 抛物线和对称轴的交点叫做抛物线的顶点． 抛物线的顶点就是原点． 新知探索 抛物线的简单几何性质 4.离心率 抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离 d的比， 叫做抛物线的离心率，用e表示． 由抛物线的定义可知，e=1． 新知探索 抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形         范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝1 通径长 2p 新知探索 抛物线的简单几何性质 典例精析 题型一：求抛物线方程 例1　已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2)，求抛物线方程． 解　(1)当抛物线的焦点在x轴上时，设其方程为y2＝mx. 将M(1，－2)代入，得m＝4，∴y2＝4x. (2)当抛物线的焦点在y轴上时，设其方程为x2＝ny. 将M(1，－2)代入，得n＝－，∴x2＝－y. 故所求的抛物线方程为y2＝4x或x2＝－y. 典例精析 题型二：抛物线几何性质的应用 例2　(1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是 ( ) A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2 解　因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形， 所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直， 从而直线OA与x轴的夹角为45°. 不妨设A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p). 所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2. B (2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝ ，求抛物线方程. 典例精析 题型二：抛物线几何性质的应用 解　由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上. 故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0). 设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2). ∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称， ∴点A与B关于x轴对称，∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2， ∴|y1|＝|y2|＝，代入圆x2＋y2＝4， 得x2＋3＝4，∴x＝±1，∴A(±1，)或A(±1，－)，代入抛物线方程， 得a＝±3. ∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x. 例3 已知抛物线y2=8x. (1)求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围; (2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|. 若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长. 典例精析 题型二：抛物线几何性质的应用 解 (1)抛物线y2=8x的性质分别为 顶点(0,0),焦点(2,0),准线x=-2, 对称轴x轴,范围[0,+∞). (2)由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,设垂足为点M. 因为焦点F是△OAB的重心,所以|OF|=|OM|. 因为F(2,0),所以|OM|=|OF|=3,所以M(3,0). 故设A(3,m)(m>0), 代入y2=8x得m2=24, 所以m=2或m=-2(舍去). 所以A(3,2),B(3,-2),|OA|=|OB|=, 所以△OAB的周长为2+4. 例4 设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点, 则直线l的斜率的取值范围是(　　) A. B.[-2,2] C.[-1,1] D.[-4,4] 解 由题知Q(-2,0),若直线l的斜率不存在,显然不合题意