3.3.1 抛物线及其标准方程 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册　

3.3.1　抛物线及其标准方程 第三章 圆锥曲线的方程 问题引入 通过前面的学习，我们已经掌握了两种圆锥曲线形式，即椭圆和双曲线.除此之外，抛物线也是 圆锥曲线，而且也是在生活中 常见的曲线形式. 新知探索 抛物线的定义 观察抛物线的画法，给出抛物线的定义. 新知探索 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条直线l (l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线. l F M H 新知探索 抛物线的标准方程 ①设|KF|= p(p>0)则F(，0)，l：x = - ②设点M的坐标为(x，y) ③由定义可知， ④化简得y2 = 2px(p＞0). l F K M H O x y 新知探索 抛物线的标准方程 方程y2=2px(p>0)叫做抛物线的标准方程. 它表示的抛物线焦点在x轴的正半轴上, 焦点坐标是(，0),它的准线方程是x=-. l F K M H O x y 新知探索 抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程   ____________ _______ ________   ______________ _______ ________ y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) 新知探索 抛物线的标准方程   ____________ _______ ________   ______________ _______ ________ x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 典例精析 题型一：求抛物线的标准方程 例1 求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点M(－6,6)； (2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上． 解　(1)由于点M(－6,6)在第二象限， ∴过M的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x轴上， 设其方程为y2＝－2px(p>0)， 将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)， ∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x. 若抛物线开口向上，焦点在y轴上， 设其方程为x2＝2py(p>0)， 将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6， ∴p＝3，∴抛物线的方程为x2＝6y. 综上所述， 抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y. 解 (2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)， ∴抛物线的焦点是F(2,0)， ∴＝2，∴p＝4， ∴抛物线的标准方程是y2＝8x. ②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F(0，－3)， 典例精析 题型一：求抛物线的标准方程 例1 求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点M(－6,6)； (2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上． ∴＝3，∴p＝6， ∴抛物线的标准方程是x2＝－12y. 综上所述， 所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y. 典例精析 题型二：抛物线定义的应用 例2 (1)设抛物线C：y2＝4x上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C的焦点的 距离是(　　) A．4　　　　　 B．5 C．6 D．7 (2)若位于y轴右侧的动点M到F(,0)的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程． 解 (1)抛物线C的准线方程为x＝－1， 设抛物线C的焦点为F， 由抛物线的定义知， |PF|＝d(d为点P到抛物线C的准线的距离)， 又d＝4＋1＝5，所以|PF|＝5. 由已知，动点M到F的距离与它到直线 l：x＝－的距离相等． ∴M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线 (不包含原点)， 其方程y2＝2x(x≠0)． 例3 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线 准线的距离之和的最小值. 解　由抛物线的定义可知， 抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离. 由图可知，点P，点(0,2)和抛物线的焦点F(,0) 三点共线时距离之和最小， 所以最小距离d＝＝. 典例精析 题型二：抛物线定义的应用 典例精析 题型二：抛物线定义的应用 变式练习1.若将本例中的点(0,2)改为点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值. 解　将x＝3代入y2＝2x，得y＝±. 所以点A在抛物线内部. 设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝－的距离为d， 则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d. 即|PA|＋|PF|的最小值是. 由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是. 典例精析 题型二：抛物线定义的应用 解　如图，作PQ垂直于准线l于点Q， |PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min. |A1F|的最小值为点F到直线l1