3.2.2双曲线的标准方程及性质的应用第2课时课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册　

第三章 圆锥曲线的方程 3.2.2　双曲线的简单几何性质 第2课时　双曲线的标准方程及性质的应用 新知探索 直线与双曲线的位置关系 通过解直线方程与双曲线方程组成的方程组，对解的个数进行讨论． 通常消去方程组中的一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程． (1)Δ＞0⇔直线与双曲线相交⇔有两个不同的公共点； (2)Δ＝0⇔直线与双曲线相切⇔有且只有一个公共点； (3)Δ＜0⇔直线与双曲线相离⇔无公共点． 新知探索 弦长问题 通常将直线方程与双曲线方程联立，得到关于x(或y)的一元二次方程， 然后利用根与系数的关系求弦长，从而绕过求直线与双曲线的交点坐标． 若直线y＝kx＋b与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则|AB|＝|x1－x2|＝ ·， 或|AB|＝·|y1－y2|＝ · . 新知探索 双曲线的中点弦问题 (1)方程组法 联立直线方程与双曲线方程， 消去其中一个未知量后得到一个一元二次方程， 利用根与系数的关系(韦达定理)及中点坐标公式求解． 新知探索 双曲线的中点弦问题 (2)点差法 设直线与双曲线-＝1(mn>0)的交点(弦的端点) 坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点(x0，y0)， 将这两点代入双曲线的方程并对所得两式作差， 得到kAB＝＝·＝·． 典例精析 题型一：由位置关系求参数的值 例1　直线y＝kx＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，当k为何值时， A，B在双曲线的同一支上？当k为何值时，A，B分别在双曲线的两支上？ 解　把y＝kx＋1代入3x2－y2＝1， 整理得(3－k2)x2－2kx－2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 要使直线与双曲线有两个交点， 则需满足：k≠±，且Δ＝24－4k2>0. 由Δ>0，解得－<k<， 所以当－<k<，且k≠±时， 一元二次方程有两解，直线与双曲线有两个交点． 若A，B在双曲线的同一支上， 需x1x2＝>0， 解得k<－或k>； 若A，B分别在双曲线的两支上， 需x1x2＝<0， 解得－<k<. 典例精析 题型二：确定直线条数 例2　已知双曲线C：x2－＝1，过点P(1，1)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有(　　) A．1条　　　　 B．2条 C．3条 D．4条 解 设直线l：y－1＝k(x－1)，代入曲线C， 得4x2－k2(x－1)2－2k(x－1)－1＝4. 整理得(4－k2)x2＋(2k2－2k)x－(k2－2k＋5)＝0. 令Δ＝(2k2－2k)2＋4(4－k2)(k2－2k＋5)＝0， 即8k＝20，得k＝. 又显然x＝1也符合题意， 又过P(1，1)可作两条与渐近线平行的直线， 所以符合题意的直线共有4条． D 典例精析 题型三：交点及弦长问题 例3　求直线y＝x＋1被双曲线x2－＝1截得的弦长． 解 由得4x2－(x＋1)2－4＝0. 即3x2－2x－5＝0.① 设方程①的解为x1，x2， ∴x1＋x2＝，x1x2＝－. ∴d＝|x1－x2|＝ ＝×＝.   例4 直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点．当a为何值时， 以AB为直径的圆经过坐标原点O？ 解　由 得(3－a2)x2－2ax－2＝0. 由题意可得3－a2≠0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝. 由题意知，OA⊥OB，则＝0， 典例精析 题型三：交点及弦长问题 即x1x2＋y1y2＝0， ∴x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0. 即(1＋a2) x1x2 ＋a(x1＋x2)＋1＝0， ∴(1＋a2)·＋a·＋1＝0， 解得a＝±1. 典例精析 题型四：中点弦问题 例5　已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　) A.－＝1　　　　B. －＝1 C. －＝1 D. －＝1 解　设方程为－＝1(a>0，b>0)， 由题意知c＝3，a2＋b2＝9， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有两式作差， B 得＝·＝＝， 又AB的斜率为＝1，所以＝1， 所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9， 得a2＝4，b2＝5. 所以双曲线的标准方程是－＝1. 例6 已知双曲线x2－＝1，问过点A(1，1)能否作直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 解　设符合题意的直线l存在， 并设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则作差可得 (x1－x2)(x1＋x2