3.2.2双曲线的简单几何性质第1课时 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册　

3.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 第三章 圆锥曲线的方程 问题引入 类比研究椭圆几何性质的方法，我们来研究双曲线的几何性质. O x y =1(a>0,b>0) 新知探索 双曲线的简单几何性质 1．范围 观察平面直角坐标系中的双曲线，它有怎样的范围？能利用它的方程给出证明吗？ a -a O x F1 F2 y 双曲线上点 (x, y)都满足， 所以，即 x2≥a2，所以 |x|≥a (a＞0)． 双曲线在不等式x≥a与x≤－a所表示的区域内． 新知探索 双曲线的简单几何性质 2．对称性 以-x 代 x，方程不变，所以双曲线关于y轴对称． 以-y 代 y，方程不变，所以双曲线关于x轴对称． 以-x代x，以-y代y，方程不变， 所以双曲线关于原点对称． 双曲线关于y轴、x轴、原点都是对称的． 坐标轴是双曲线的对称轴． 原点是双曲线的对称中心． 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心． O x y =1(a>0,b>0) 新知探索 双曲线的简单几何性质 3．顶点 令y＝0，得x＝±a， 双曲线和x轴有两个交点A1(－a, 0)、A2(a, 0) ， 叫做双曲线的顶点． 令x＝0，得y2＝－b2， 这个方程没有实数根，则双曲线和y轴无交点. 特殊点B1(0,－b)、B2(0, b). 线段A1A2 叫做双曲线的实轴． 线段B1B2叫做双曲线的虚轴. 实轴的长等于2a．虚轴的长等于2b． a叫做双曲线的实半轴长．b叫做双曲线的虚半轴长． y O x A1 A2 B2 B1 新知探索 双曲线的简单几何性质 y O x A1 A2 B2 B1 经过A2、A1作y轴的平行线 x＝±a， 经过B2、B1作x 轴的平行线y＝±b， 四条直线围成一个矩形 ． y=±x(=0)叫做双曲线的渐近线. a＝b时，实轴和虚轴等长， 这样的双曲线叫做等轴双曲线. 这时双曲线方程为x2－y2＝a2， 渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角． 4．渐近线 新知探索 双曲线的简单几何性质 5．离心率 双曲线的焦距与实轴长的比e=，叫做双曲线的离心率． 因为 c ＞a＞0，所以e＞1． 又 因此e越大，也越大， 即渐近线y=±x斜率的绝对值也越大. 双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔. 由此可知，双曲线的离心率越大，它的张口就越阔． y O x 新知探索 双曲线的简单几何性质 标准方程 图形     性质 范围 _____________ ______________ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 ________ ________ 离心率 e＝ ，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c间的关系 c2＝ (c>a>0，c>b>0) x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a a2＋b2 典例精析 题型一：由双曲线方程研究其几何性质 例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 解　将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1， 所以a＝3，b＝2，c＝. 因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 离心率e＝＝， 渐近线方程为y＝±x＝±x. 典例精析 题型二：由双曲线的几何性质求标准方程 例2 根据以下条件,求双曲线的标准方程. (1)过点P(3,-),离心率为; 解 (1)若双曲线的焦点在x轴上, 设其方程为=1(a>0,b>0), ∵e=,∴=2,即a2=b2. ① 又双曲线过P(3,-),∴=1, ② 由①②得a2=b2=4, 故双曲线方程为=1. 若双曲线的焦点在y轴上, 设其方程为=1(a>0,b>0), 同理有a2=b2, ③ =1, ④ 由③④得a2=b2=-4(舍去). 综上,双曲线的标准方程为=1. 典例精析 题型二：由双曲线的几何性质求标准方程 例2 根据以下条件,求双曲线的标准方程. (2)与椭圆=1有公共焦点,且离心率e=; 解 (2)由椭圆方程=1, 知半焦距为, ∴焦点是F1(-,0),F2(,0). 因此双曲线的焦点为(-,0),(,0). 设双曲线方程为=1(a>0,b>0), 由已知条件,有 解得 ∴所求双曲线的标准方程为-y2=1. 例2 根据以下条件,求双曲线的标准方程. (3)与双曲线=1有共同渐近线,且过点(-3,2). 典例精析 题型二：由双曲线的几何性质求标准方程 解 (3)设所求双曲线方程为=λ(λ≠0), 将点(-3,2)代入得λ=, ∴双曲线方程为,