3.2.1 双曲线及其标准方程的应用第2课时 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册　

第三章 圆锥曲线的方程 3.2.1　双曲线及其标准方程 第2课时　双曲线及其标准方程的应用 文字语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的__________等于非零 常数(小于|F1F2|)的点的轨迹. 符号语言 ||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|) 焦点 定点__________ 焦距 ________的距离 差的绝对值 F1，F2 两焦点间 复习回顾 复习回顾 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     标准方程 ___________________ ___________________ 焦点 ________________ ________________ a，b，c的关系 c2＝_______ (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a2＋b2 典例精析 题型一：双曲线定义的应用 例1 如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离； (2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积． 解　双曲线的标准方程为－＝1， 故a＝3，b＝4，c＝5. (1)由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||＝2a＝6， 又双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16， 假设点P到另一个焦点的距离等于x， 则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22. 故点P到另一个焦点的距离为10或22. 典例精析 题型一：双曲线定义的应用 例1 如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离； (2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积． (2)将||PF1|-|PF2|| ＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理得 cos ∠F1PF2＝＝0， ∴∠F1PF2＝90°， ∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16. 典例精析 题型一：双曲线定义的应用 例2　△ABC中，A(－5,0)，B(5,0)，点C在双曲线－＝1上，则＝(　　) A．　　　 B．±　　　 C．－　　　 D．± 解 在△ABC中，由正弦定理得＝＝. 又∵|BC|－|AC|＝±8，∴＝±＝±. D 典例精析 题型二：与双曲线有关的轨迹问题 例3 已知两圆C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与圆C1外切,与圆C2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为　　 　　　.  解 设动圆圆心M(x,y),半径为r, 因为圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切, 所以|MC1|=r+,|MC2|=r-,|MC1|-|MC2|=2<8. 由双曲线的定义知点M的轨迹 是以C1,C2为焦点的双曲线的右支,且a=,c=4, 故动圆圆心M的轨迹方程为=1(x≥). =1(x≥) 典例精析 题型二：与双曲线有关的轨迹问题 例4 如图，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB， 建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程． 解　以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴， 建立平面直角坐标系如图所示，则A(－2，0)，B(2，0)． ∵2sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理， ∴2|CB|＋|AB|＝2|CA|， 从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|. 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)． ∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6， 则顶点C的轨迹方程为－＝1(x>)． 例5 如图，设 A，B 两点的坐标分别为(-5，0)，(5，0)，直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是，试求点M 的轨迹方程，并由点 M 的轨迹方程判断轨迹的形状， 解 设点M 的坐标为(x，y)， 因为点A的坐标为(- 5，0)， 所以直线 AM 的斜率kAM=. 同理，直线 BM 的斜率kBM=. 由已知，有×=, 化简，得点M 的轨迹方程为=1(x≠±5). 所以点M 的轨迹是除去(-5，0)，(5，0)两点的双曲线. 典例精析 题型二：与双曲线有关的轨迹问题 典例精析 题型二：与双曲线有关的轨迹问题 例6 点P是双曲线-y2=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,求点M的轨迹方程. 解 设M(x