3.2.1 双曲线及其标准方程第1课时 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册　

3.2.1　双曲线及其标准方程 第1课时　双曲线及其标准方程 第三章 圆锥曲线的方程 问题引入 前面我们已经学习了椭圆， 我们知道平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a ( 2a>|F1F2|>0)的点的轨迹为椭圆. 问题引入 双曲线也是一种圆锥曲线形式，右图为发电厂冷却塔的截面图，即为双曲线. 同样，我们要研究双曲线的 定义和标准方程. 新知探索 双曲线的定义 在直线l上取两个定点A，B， P是直线l上的动点. 在平面内，取定点F1，F2， 以点F1为圆心、线段PA为半径作圆， 再以F2 为圆心、线段PB为半径作圆. 当点P在线段AB上运动时， 如果|F1F2|<AB，那么两圆相交， 其交点M的轨迹是椭圆； 如果|F1F2|>AB，两圆不相交， 不存在交点轨迹. 新知探索 双曲线的定义 如图，在|F1F2|>|AB|的条件下，让P点在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件? 两圆的交点M的轨迹是什么形状? 新知探索 双曲线的定义 总之，点M与两个定点F1，F2距离的差的绝对值|AB|是个常数(|AB|<| F1F2 |)，即||MF1|-|MF2||=|AB|. 此时，点M的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分为两支，称为双曲线. 新知探索 双曲线的定义 文字语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的__________等于非零 常数(小于|F1F2|)的点的轨迹. 符号语言 ||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|) 焦点 定点__________ 焦距 ________的距离 差的绝对值 F1，F2 两焦点间 新知探索 双曲线的定义 注意：1.若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点M的轨迹为 双曲线的一支,具体是哪一支,取决于|MF1|与|MF2|的大小. (1)若|MF1|>|MF2|,则|MF1|-|MF2|>0,点M的轨迹是靠近定点F2的那一支; (2)若|MF1|<|MF2|,则|MF2|-|MF1|>0,点M的轨迹是靠近定点F1的那一支. 2.双曲线定义中的常数必须要大于0且小于|F1F2|. (1)若定义中的常数等于|F1F2|,此时动点轨迹是分别以F1和F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点). (2)若定义中的常数大于|F1F2|,此时动点轨迹不存在. (3)若定义中的常数为0,此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 新知探索 双曲线的标准方程 O x y 即| -|=2a 以F1,F2所在的直线为x轴， 线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系. 1. 建系 2.设点 3.列式 ||MF1| - |MF2||= 2a 设M(x , y),双曲线的焦距为2c(c>0), 常数=2a(a>0),则F1(-c,0),F2(c,0)， F2 F1 新知探索 双曲线的标准方程 4.化简. | -|=2a ⇒ -=±2a 移项两边平方后整理得：cx-a2=±a 两边再平方后整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2) 两边同除以a2(c2-a2)得：=1 设b2=c2-a2(b>0) 代入上式得：=1(a>0,b>0) 新知探索 双曲线的标准方程 焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？ O x y F2 F1 =1(a>0,b>0) 新知探索 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     标准方程 ___________________ ___________________ 焦点 ________________ ________________ a，b，c的关系 c2＝_______ (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a2＋b2 典例精析 题型一：双曲线的标准方程 例1 (1)已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是 (　　) A．k>5　　　　　　 B．k>5或－2<k<2 C．k>2或k<－2 D．－2<k<2 解　∵方程对应的图形是双曲线， ∴(k－5)(|k|－2)>0. 即 或 解得k>5或－2<k<2. B (2)讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 解 (1)当k < 9时，25－k > 0，9－k >0，所给方程表示椭圆， 由于25－k > 9－k，c2＝a2－b2＝16，所以这些椭圆的焦点都在 x 轴上， 且焦点坐标都为（-4，0）和（4，0）． (2)当9 < k < 25时，25－k > 0，9－k < 0，所给方程表示双曲线， 其标准方程为． 此时，a2＝25－k，b2＝k－9，c2＝a2＋b2＝16， 这些双曲线也有共同的焦点(－4，0)，(4，0)． (3)当 k > 25 时，所给方程没有轨迹． 典例精析 题型一：双曲线