第10章 课时作业(64) 高考中的统计概率问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

课时作业(六十四)　高考中的统计概率问题 [基础保分练] 1．随着电商事业的发展和工作生活节奏的加快，人们的生活方式和生活理念正在发生巨大的改变．通过外卖App下单订餐叫外卖，正受到越来越多的市民尤其是青年上班族的喜爱．为了解市民是否经常使用外卖平台点餐，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了75人进行抽样分析，其中经常用外卖平台点餐的人数是基本不用外卖平台点餐的人数的2倍；40岁以上经常用外卖平台点餐的人数和基本不用外卖平台点餐的人数相等；40岁及以下有15人基本不用外卖平台点餐． (1)请完善下面的列联表，并依据α＝0.1的独立性检验，分析经常使用外卖平台点餐是否与年龄有关？ 年龄 是否经常用外卖平台点餐 合计 经常用 基本不用 40岁及以下 15 40岁以上 合计 75 (2)利用分层随机抽样方法在经常用外卖平台点餐的市民中随机抽取10人，再从以上10人中随机抽取3人．记被抽取的3人中“40岁以上”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 参考公式及数据：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 临界值表： α 0.15 0.10 0.05 0.035 xα 2.072 2.706 3.841 5.024 解：(1)设基本不用外卖平台点餐人数为x，由2x＋x＝75得x＝25，所以基本不用外卖平台点餐人数为25人， 因为40岁及以下有15人基本不用外卖平台点餐， 所以40岁以上有10人基本不用外卖平台点餐，40岁以上有10人经常用外卖平台点餐，40岁及以下有40人经常用外卖平台点餐． 列联表如下， 年龄 是否经常用外卖平台点餐 合计 经常用 基本不用 40岁及以下 40 15 55 40岁以上 10 10 20 合计 50 25 75 由列联表可知χ2＝＝≈3.409. 因为3.409＞2.706，所以依据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为经常使用外卖平台点餐与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1. (2)由题意可知，抽取的10人中“40岁以上”的市民有2人， X的所有可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝＋＝. 2．某企业为检验某种设备生产的零件质量，现随机选取20个零件进行检验，分出合格品和次品．设每个零件是次品的概率为p(0<p<1)，且相互独立． (1)若20个零件中恰有2个次品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0； (2)若合格品又分为一等品和二等品，每个零件是二等品的概率为是一等品概率的2倍．已知生产一个一等品可获利100元，生产一个二等品可获利30元，生产一个次品会亏损40元，当每个零件平均获利低于20元时，需对设备进行技术升级．当p满足什么条件时，企业需对该设备进行技术升级？ 解：(1)设次品的个数为随机变量X，由题意知X～B(20，p)， 所以f(p)＝Cp2(1－p)18， f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17] ＝C[2p(1－p)17(1－10p)]． 当0＜p＜时，f′(p)＞0， 当＜p＜1时，f′(p)＜0， 所以f(p)在(0，)上单调递增，在(，1)上单调递减， 所以f(p)在p＝时，取得最大值，即p0＝. (2)设生产一个零件可获利Y元， 由题意知P(Y＝100)＝，P(Y＝30)＝， P(Y＝－40)＝p， 所以E(Y)＝100×＋30×－40×p＜20， 解得p＞， 因为0＜p＜1，所以＜p＜1. 因此，当＜p＜1时企业需对该设备进行技术升级． 3．阿根廷球员马拉多纳曾经是上世纪最伟大的足球运动员之一，其精湛的足球技术在几十年当中始终无人超越．科学家通过电脑计算发现：马拉多纳在高速运动、高强度对抗、视角受限的情况下，传球和助攻有高达90%与电脑计算的最佳路线一样！为纪念“球王”马拉多纳，某地区举行了系列足球运动推广活动． (1)受推广活动的影响，该地区球迷观看足球联赛的热情持续高涨，据统计相关轮次观看联赛的球迷人数y(单位：人)如下表： 轮次x 1 3 4 5 7 观看的人数y 1 300 3 300 4 200 5 200 7 000 现建立该地区观看球赛的人数y与轮次x的线性回归模型：＝x＋a.根据该模型预测从第几轮次开始该地区观看球赛的人数y超过10 000人？ (2)为了参加该地区举行的“花式足球大赛”，某球队需要从甲、乙所在的6名运动员中选三名队员参赛．求在甲被选中的条件下，乙也被选中的概率． 附：回归方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式和参数数据：＝＝，，x