第8章 课时作业(50) 最值问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

课时作业(五十)　最值问题 [基础保分练] 1．(2021·全国乙卷)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2. (1)求C的方程； (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值． 解：(1)由题意得p＝2. ∴抛物线C的方程为y2＝2px＝4x. (2)由(1)知F(1，0)．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x2>0)． ∵＝9，即(x2－x1，y2－y1)＝9(1－x2，－y2)， ∴∴ ∴kOQ＝＝＝. 要求kOQ的最大值，则令y1>0，得y1＝， ∴kOQ＝＝≤＝， 当且仅当＝，即x1＝9时，等号成立． 故直线OQ斜率的最大值为. 2.如图，已知抛物线x2＝y，点A(－，)，B(，)，抛物线上的点P(x，y)(－<x<)．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. (1)求直线AP斜率的取值范围； (2)求|PA|·|PQ|的最大值． 解：(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－， 因为－<x<，所以直线AP斜率的取值范围是(－1，1)． (2)联立直线AP与BQ的方程 解得点Q的横坐标是xQ＝. 因为|PA|＝(x＋)＝(k＋1)， |PQ|＝(xQ－x)＝－， 所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3， 令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3， 因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2， 所以f(k)在(－1，)上单调递增，在(，1)上单调递减． 因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值. 3．已知过点M(，0)的直线l与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，且·＝－3，其中O为坐标原点． (1)求p的值； (2)当|AM|＋4|BM|最小时，求直线l的方程． 解：(1)设直线l的方程为x＝my＋， 由得y2－2pmy－p2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2， 因为·＝－3，所以x1x2＋y1y2＝－3， 又x1x2＝·＝，所以－p2＝－3， 又因为p>0，所以p＝2. (2)根据抛物线定义，得|AM|＝x1＋＝x1＋1，|BM|＝x2＋＝x2＋1，x1x2＝＝1， 所以|AM|＋4|BM|＝x1＋4x2＋5≥2＋5＝9，当且仅当x1＝4x2，即x2＝，x1＝2时等号成立． 将x2＝代入y2＝4x，得y2＝±， 即点B(，±)，将点B代入x＝my＋1，得m＝±， 所以直线l的方程为x＝±y＋1，即4x±y－4＝0. [技能提分练] 4．已知直线x＋ky－3＝0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知圆O：x2＋y2＝1，直线l：mx＋ny＝1，试证：当点P(m，n)在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长l的取值范围． 解：(1)直线x＋ky－3＝0所经过的定点是(3，0)，即点F(3，0)，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)， 因为椭圆C上的点到点F的最大距离为8，所以a＋3＝8，a＝5，所以b2＝52－32＝16， 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)因为点P(m，n)在椭圆C上， 所以＋＝1，即n2＝16－. 又原点到直线l：mx＋ny＝1的距离 d＝＝<1， 所以直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1恒相交． 则l2＝4(12－d2)＝4(1－)， 因为－5≤m≤5，所以≤l≤. 故直线l被圆O所截得的弦长l的取值范围为. 5．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，过椭圆C的焦点且与x轴垂直的弦的长为1. (1)求椭圆C的方程； (2)如图，F是椭圆C的右焦点，A，D(不在x轴上)是椭圆C上关于y轴对称的两点，直线AF交椭圆C于另一点B，若E是△ABD外接圆的圆心，求的最小值． 解：(1)由题知，2c＝2，解得c＝. 由椭圆的对称性，不妨取椭圆的右焦点F(c，0)， 过椭圆C的焦点且与x轴垂直的弦的长为＝1， 所以b2＝a，又b2＋c2＝a2，所以a＋3＝a2，解得a＝2(负值舍去)，所以b＝1. 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)由题知，直线AB的斜率不为0， 设直线AB的方程为x＝my＋， 代入椭圆C的方程，消去x得 (m2＋4)y2＋2my－1＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则Δ＝12m2＋4(m2＋4)＞0， y1＋y2＝，y1y2＝， 所以x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝＋2＝， |AB|＝|y1－y2|＝× ＝×＝. 因为E是△ABD的外心， 所以E是线段AB的垂直平分线与线段AD的垂直平分线的交点，可知E在y轴上， 线段AB的中点坐标为(，)， 线段AB的垂直平分线的方程为 y－＝－m(x－)， 令x＝0，得y＝，即E(0，)． 又F(，0)， 所