第8章 课时作业(49) 抛物线（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

课时作业(四十九)　抛物线 [基础保分练] 1．(2021·新高考全国卷Ⅱ)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝(　　) A．1 B．2 C．2 D．4 B　解析：焦点F为(，0)，由点到直线的距离公式可得＝，所以＋1＝2，p＝2. 2．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为(　　) A．(8，8) B．(8，－8) C．(8，±8) D．(－8，±8) C　解析：设P(xP，yP)，∵点P到焦点的距离为xp＋2＝10，∴xP＝8，则yP＝±8，∴点P的坐标为(8，±8)． 3．抛物线C：x2＝8y的焦点为F，在C上有一点P，|PF|＝8，PF的中点M到C的准线l的距离为(　　) A．6 B．8 C．4 D．12 A　解析：抛物线C的准线方程为y＝－2，设点P(x0，y0)，由抛物线的定义可得|PF|＝y0＋2＝8，解得y0＝6，因为点F(0，2)，故点M(，4)，因此，PF的中点M到C的准线l的距离为4＋2＝6. 4．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， C(x3，y3)，又焦点F(，0)， 所以x1＋x2＋x3＝3×＝， 则||＋||＋|| ＝(x1＋)＋(x2＋)＋(x3＋) ＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3. 5．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，过点P作直线x＝－1的垂线，垂足为M，点A的坐标是(，4)，则|AP|＋|PM|的最小值是(　　) A． B．5 C． D． D　解析：如下图所示， 抛物线y2＝2x的焦点为F(，0)， 由抛物线的定义可得|PM|＝|PF|＋， |AP|＋|PM|＝|AP|＋|PF|＋≥|AF|＋＝＋＝. 当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立， 因此，|AP|＋|PM|的最小值为. 6．(2020·新高考全国卷Ⅰ)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________． 答案： 解析：由题意得直线方程为y＝(x－1)， 联立方程，得 得3x2－10x＋3＝0，∴xA＋xB＝， 故|AB|＝1＋xA＋1＋xB＝2＋＝. 7．(2021·北京卷)已知抛物线C：y2＝4x，C焦点为F，点M在C上，且|FM|＝6，则M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝______． 答案：5　4 解析：由题意得点F(1，0)， 设点M(x，±2)，则|FM|＝x＋1＝6， 解得x＝5.易得点M(5，±2)，N(5，0)， 从而S△FMN＝(xN－xF)·MN＝×4×2＝4. 8．已知抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，圆M的方程为x2＋y2＋8x＋12＝0，如果抛物线C的准线与圆M相切，那么p的值为________． 答案：12或4 解析：将圆M的方程化为标准方程：(x＋4)2＋y2＝4，圆心M坐标为(－4，0)，半径r＝2，又因为抛物线的准线方程为x＝－，所以＝2，解得p＝12或p＝4. 9．(2022·浙江江山中学模拟)焦点为F的抛物线y2＝4x上有三点A，B，C满足△ABC的重心是F，且|FA|，|FB|，|FC|恰成等差数列，则直线AC的方程是________________． 2x±y－1＝0　解析：由题可知，|FA|＝xA＋1，|FB|＝xB＋1，|FC|＝xC＋1成等差数列， 所以2(xB＋1)＝xA＋xC＋2，则2xB＝xA＋xC， 而F(1，0)为△ABC的重心，则 可得xA＋xC＝2且xB＝1，所以yB＝±2， 当yB＝2，则yA＋yC＝－2， 故AC中点为(1，－1)，而 可得＝＝－2， 此时直线AC方程为y＋1＝－2(x－1)，即2x＋y－1＝0； 当yB＝－2，则yA＋yC＝2， 故AC中点为(1，1)， 同理得直线AC方程为2x－y－1＝0， 综上，直线AC的方程是2x±y－1＝0. 10．设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，M(p，p－1)是C上的点． (1)求C的方程； (2)若直线l：y＝kx＋2与C交于A，B两点，且|AF|·|BF|＝13，求k的值． 解：(1)因为M(p，p－1)是抛物线C上的点， 所以p2＝2p(p－1)， 因为p＞0，所以p＝2，因此抛物线C的方程为x2＝4y. (2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2－4kx－8＝0， Δ＝16k2＋32＞0，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－8， 由抛物线的定义知， |AF|＝y1＋1＝kx1＋3，|BF|＝y2＋1＝kx2＋3， 则|AF|·|BF|＝(kx1＋3)(kx2＋3)