第8章 课时作业(48) 双曲线（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

课时作业(四十八)　双曲线 [基础保分练] 1．已知双曲线－＝1(0<a<)的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为(　　) A． B． C． D．2 D　解析：由题意可知，双曲线焦点在x轴上，设其渐近线方程为y＝±x，又因为双曲线的渐近线的夹角为，所以＝tan＝，解得a＝，所以c2＝＋2＝，即c＝，则双曲线离心率为e＝＝2. 2．已知双曲线x2－my2＝1(m∈R)的离心率为，则其渐近线方程为(　　) A．4x±3y＝0 B．3x±4y＝0 C．3x±5y＝0 D．5x±3y＝0 A　解析：根据双曲线标准方程，知a2＝1，b2＝＞0， ∵双曲线的离心率为，∴＝， 而c2＝a2＋b2，∴m＝， 所以其渐近线方程为4x±3y＝0. 3．(2021·浙江瑞安中学模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为x±y＝0，则该双曲线实轴长为(　　) A．2 B．1 C． D．2 A　解析：由题意知，渐近线方程为y＝±x，则＝，又焦点为F(2，0)，即c＝2，所以c2＝a2＋b2＝4a2＝4，则a2＝1，即a＝1或a＝－1(舍去)，所以该双曲线实轴长为2a＝2. 4．(多选)已知双曲线－＝sin2θ(θ≠kπ，k∈Z)，则不因θ改变而变化的是(　　) A．焦距 B．离心率 C．顶点坐标 D．渐近线方程 BD　解析：双曲线－＝sin2θ(θ≠kπ，k∈Z)， 可化为－＝1， ∴a2＝4sin2θ，b2＝2sin2θ，c2＝6sin2θ， e2＝1＋()2＝，渐近线y＝±x＝±x， 故离心率和渐近线方程不变． 5．设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为(　　) A．－＝1 B．x2－＝1 C．－y2＝1 D．x2－y2＝1 D　解析：由题意知抛物线的焦点为F(1，0)， 直线l的斜率kl＝＝－b＝－， 解得a＝1，又∵·(－b)＝－1， ∴b＝a＝1，∴双曲线C的方程为x2－y2＝1. 6．(多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.(　　) A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为 C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x D．若m＝0，n>0，则C是两条直线 ACD　解析：当m＞n＞0时，有＞＞0，方程化为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；当m＝n＞0时，方程化为x2＋y2＝，表示半径为 的圆，故B错误；当m＞0，n＜0时，方程化为－＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝，b＝，渐近线方程为y＝± x；当m＜0，n＞0时，方程化为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a＝，b＝，渐近线方程为y＝± x，故C正确；当m＝0，n＞0时，方程化为y＝± ，表示两条平行于x轴的直线，故D正确． 7．(2022·浙江杭州高级中学模拟)过双曲线－＝1(a＞b＞0)右焦点F的直线交两渐近线于A、B两点，若·＝0，O为坐标原点，且△OAB内切圆半径为a，则该双曲线的离心率为(　　) A． B． C． D．＋1 A　解析：因为a＞b＞0，所以双曲线的渐近线如图所示， 设内切圆圆心为M，则M在∠AOB平分线OF上， 过点M分别作MN⊥OA于N，MT⊥AB于T，由FA⊥OA得四边形MTAN为正方形，由焦点到渐近线的距离为d得|FA|＝b， 又|OF|＝c， 所以|OA|＝a，|NA|＝|MN|＝a， 所以|NO|＝|OA|－|NA|＝a－a＝a， 所以＝tan∠AOF＝＝， 得e＝＝. 8．已知曲线＋＝1，当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时k的取值范围是________；当曲线表示双曲线时k的取值范围是________． (－∞，－1)∪(2，＋∞)　(0，1)　 解析：当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时，k2－k＞2，所以k＜－1或k＞2；当曲线表示双曲线时，k2－k＜0，所以0＜k＜1. 9．(2020·北京卷)已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为____________；C的焦点到其渐近线的距离是__________． (3，0)　　解析：由－＝1，得c2＝a2＋b2＝9，解得c＝3，焦点在x轴上，所以双曲线C的右焦点坐标为(3，0).双曲线的一条渐近线方程为y＝ x，即x－y＝0，所以焦点(3，0)到渐近线的距离为d＝＝. 10．(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，则C的离心率为________. 　解析：由双曲线的一条渐近线为y＝x可知，＝，即b＝a.在双曲线中，c2＝a2＋b2，所以c2＝3a2，所以e＝＝. 11．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的