第8章 课时作业(47) 直线与椭圆（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

课时作业(四十七)　直线与椭圆 [基础保分练] 1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是(　　) A．至多为1 B．2 C．1 D．0 B　解析：由题意知＞2，即＜2， ∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2. 2．椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ A　解析：设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k， 则4x＋9y＝144，4x＋9y＝144， 两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，＝k， 代入解得k＝－. 3．已知直线l：y＝2x＋3被椭圆C：＋＝1(a>b>0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有(　　) ①y＝2x－3；②y＝2x＋1；③y＝－2x－3；④y＝－2x＋3. A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 C　解析：直线y＝2x－3与直线l关于原点对称，直线y＝－2x－3与直线l关于x轴对称，直线y＝－2x＋3与直线l关于y轴对称，故有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7. 4．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点为M(1，－1)，则椭圆E的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 D　解析：kAB＝＝，kOM＝－1， 由kAB·kOM＝－，得＝， ∴a2＝2b2.∵c＝3，∴a2＝18，b2＝9， 椭圆E的方程为＋＝1. 5．椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　　) A． B． C． D． B　解析：(方法一)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则ax＋by＝1，ax＋by＝1， 即ax－ax＝－(by－by)， 则＝－1，＝－1， 由题意知，＝－1，过点(，)与原点的直线的斜率为， 即＝，∴×(－1)×＝－1，∴＝. (方法二)由得 (a＋b)x2－2bx＋b－1＝0， 可得AB中点P的坐标为(，)， ∴kOP＝＝，∴＝. 6．直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆＋y2＝1截得的最大弦长是________． 答案： 解析：直线恒过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，则弦长为＝＝，当y＝－时，弦长最大为. 7．已知直线MN过椭圆＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点．直线PQ过原点O与MN平行，且PQ与椭圆交于P，Q两点，则＝________． 答案：2 解析：不妨取直线MN⊥x轴， 椭圆＋y2＝1的左焦点F(－1，0)， 令x＝－1，得y2＝，所以y＝±， 所以|MN|＝，此时|PQ|＝2b＝2，则＝＝2. 8．设F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为______________． 答案：＋＝1 解析：∵△F2AB是面积为4的等边三角形， ∴AB⊥x轴，∴A，B两点的横坐标为－c， 代入椭圆方程，可求得|F1A|＝|F1B|＝. 又|F1F2|＝2c，∠F1F2A＝30°，∴＝×2c.① 又S＝×2c×＝4，②　a2＝b2＋c2，③ 由①②③解得a2＝9，b2＝6，c2＝3， ∴椭圆C的方程为＋＝1. 9．如图，已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围． 解：设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)， 代入＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0. 因为直线AB过椭圆的左焦点F，所以方程有两个不等实根， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)， 则x1＋x2＝－，x0＝(x1＋x2)＝－， y0＝k(x0＋1)＝， 所以AB的垂直平分线NG的方程为y－y0＝－(x－x0)． 令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－＋＝－＝－＋. 因为k≠0，所以－<xG<0， 所以点G横坐标的取值范围为(－，0)． 10．已知动点M到两定点F1(－m，0)，F2(m，0)的距离之和为4(0<m<2)，且动点M的轨迹曲线C过点N(，)． (1)求m的值； (2)若直线l：y＝kx＋与曲线C有两个不同的交点A，B，且·＝2(O为坐标原点)，求k的值． 解：(1)由0<m<2，得2m<4， 可知，曲线C是以两定点F1(－m，0)，F2(