第8章 课时作业(45) 直线与圆、圆与圆的位置关系（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

课时作业(四十五)　直线与圆、圆与圆的位置关系 [基础保分练] 1．若直线2x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则a的值为(　　) A．± B．±5 C．3 D．±3 B　解析：圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，因为直线与圆相切，所以有＝，即a＝±5. 2．与圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 C　解析：由题意知，两圆圆心分别为(－2，2)与(2，5)，半径分别为1和4，圆心距为＝5，显然两圆外切，故公切线的条数为3. 3．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，则当k的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，则m的取值为(　　) A．±2 B．± C．± D．±3 C　解析：由题意可知，m为直线在y轴上的截距，当k＝0时，直线被圆C所截的弦长有最小值，此时m＝±＝±. 4．直线y＝k(x＋2)被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角为(　　) A． B． C．或 D．或 C　解析：因为圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2， 又直线l：y＝k(x＋2)被圆O：x2＋y2＝4截得的弦长为2， ∴圆心到直线的距离d＝＝1，∴k＝±， 所以直线的倾斜角为或. 5．已知圆C1：x2＋y2＋4x－2y－4＝0，C2：(x＋)2＋(y－)2＝，则这两圆的公共弦长为(　　) A．4 B．2 C．2 D．1 C　解析：由题意知C1：x2＋y2＋4x－2y－4＝0，C2：x2＋y2＋3x－3y－1＝0，将两圆的方程相减，得x＋y－3＝0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为x＋y－3＝0.又因为圆C1的圆心为(－2，1)，半径r＝3，所以圆C1的圆心到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝2.所以这两圆的公共弦的弦长为2＝2＝2. 6．若点P(2，1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为________． 答案：x＋y－3＝0 解析：因为圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为(1，0)，所以直线AB的斜率等于＝－1，由点斜式得直线AB的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0. 7．过点M(1，2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是__________． 答案：x＋y－3＝0 解析：验证知点 M(1，2)在圆内，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，由圆的方程知，圆心C(3，4)，∵kCM＝＝1，∴kl＝－1∴l：y－2＝－(x－1)，整理得x＋y－3＝0. 8．过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________． 答案： 解析：由题意，得圆心为O(0，0)，半径为1.如图所示， ∵P(1，)，∴PB⊥x轴，|PA|＝|PB|＝. 在Rt△POA中， |OA|＝1，|AP|＝，则|OP|＝2， ∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°， ∴·＝||||·cos∠APB＝××cos 60°＝. 9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切； (2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程． 解：(1)根据题意，圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，则圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝4，其圆心为(0，4)，半径r＝2，若直线l与圆C相切，则有＝2，解得a＝－. (2)设圆心C到直线l的距离为d， 则()2＋d2＝r2，即2＋d2＝4，解得d＝， 则有d＝＝，解得a＝－1或－7， 所以直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0. 10．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1)．当m变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由； (2)证明：过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值． (1)解：不能出现AC⊥BC的情况，理由如下： 设A(x1，0)，B(x2，0)， 则x1，x2是方程x2＋mx－2＝0的两个根， 所以x1x2＝－2，又点C的坐标为(0，1)， 则·＝(－x1，1)·(－x2，1)＝x1x2＋1＝－2＋1＝－1≠0，所以不能出现AC⊥BC的情况． (2)证明：设过A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D，由x1x2＝－2可知原点O在圆内， 则由相交弦定理可得 |OC|·|OD|＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝2. 又|OC|＝1，所以|OD|＝2，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为|OC|＋|OD|＝3，为定值． [技能提分练] 11．(多选)已知直线x－2y＋a