第8章 课时作业(54) 探究性问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

课时作业(五十四)　探究性问题 [基础保分练] 1．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，且过点(1，)． (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M，N两点，问是否存在直线l，使得F为△BMN的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 解：(1)由已知可得解得a2＝2，b2＝1，c＝1， 所以椭圆C：＋y2＝1. (2)由已知可得，B(0，1)，F(1，0)， ∴kBF＝－1，∵BF⊥l， 设直线l的方程为y＝x＋m， 代入椭圆方程整理得3x2＋4mx＋2m2－2＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， ∵BN⊥MF，∴·＝－1， 即y1y2＋x1x2－y1－x2＝0， 因为y1＝x1＋m，y2＝x2＋m， 所以(x1＋m)(x2＋m)＋x1x2－(x1＋m)－x2＝0， 即2x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＋m2－m＝0， 所以2×＋(m－1)＋m2－m＝0. 整理得3m2＋m－4＝0，m＝－或m＝1. 又m＝1时，直线l过B点，不符合要求，所以m＝－. 故存在直线l：y＝x－满足题设条件． 2．椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，过点P(0，1)做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时|AB|＝3. (1)求椭圆E的方程； (2)当k变化时，在x轴上是否存在点M(m，0)，使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 解：(1)由已知椭圆过点(，1)， 可得解得a2＝9，b2＝4， 所以椭圆的E方程为＋＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点C(x0，y0)， 由得(4＋9k2)x2＋18kx－27＝0， 所以x0＝＝，y0＝kx0＋1＝. 当k≠0时，设过点C且与l垂直的直线方程y＝－(x＋)＋， 将M(m，0)代入得m＝－， 若k＞0，则＋9k≥2＝12，所以－≤m<0； 若k＜0，则＋9k＝－≤－2＝－12，所以0<m≤； 若k＝0，则m＝0. 综上所述，存在点M满足条件，m的取值范围是. 3．已知椭圆C的中心在原点，其焦点与双曲线2x2－2y2＝1的焦点重合，点P(0，)在椭圆C上，动直线l：y＝kx＋m交椭圆C于不同两点A，B，且·＝0(O为坐标原点)． (1)求椭圆C的方程； (2)讨论7m2－12k2是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：(1)因为双曲线2x2－2y2＝1的焦点为(1，0)， 所以在椭圆C中c＝1， 设椭圆C的方程为＋＝1(a＞0)， 由点P(0，)在椭圆C上得＝1， 解得a2＝4，即a＝2，则b＝＝， 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)7m2－12k2为定值，理由如下： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由·＝0可知x1x2＋y1y2＝0， 联立得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－12＝0， 由Δ＝64m2k2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0得，m2＜3＋4k2， x1＋x2＝－，x1x2＝， ∵·＝0，∴x1x2＋y1y2＝0， ∴x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m) ＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 ＝(1＋k2)·－km·＋m2＝0， 可化简得 (1＋k2)(4m2－12)－8k2m2＋3m2＋4m2k2＝7m2－12k2－12＝0， 所以7m2－12k2为定值． [技能提分练] 4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，其右顶点为A，下顶点为B，定点C(0，2)，△ABC的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线BP，BQ分别与x轴交于M，N两点． (1)求椭圆C的方程； (2)试探究M，N的横坐标的乘积是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 解：(1)由已知，A，B的坐标分别是A(a，0)，B(0，－b)， 由于△ABC的面积为3， ∴(2＋b)a＝3①， 又由e＝＝＝，化简得a＝2b，② ①②两式联立解得b＝1或b＝－3(舍去)，∴a＝2，b＝1， ∴椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)设直线PQ的方程为y＝kx＋2， P，Q的坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则直线BP的方程为y＝x－1， 令y＝0，得点M的横坐标xM＝， 直线BQ的方程为y＝x－1， 令y＝0，得点N的横坐标xN＝， ∴xM·xN＝ ＝＝， 把直线y＝kx＋2代入椭圆方程＋y2＝1得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0， 由根与系数的关系得x1x2＝，x1＋x2＝－. ∴xM·xN＝ ＝＝，是定值． 5．已知A(0，2)，B(0，－2)，P为坐标平面内一动点，直线PA，PB的斜率k