第8章 课时作业(53) 定值问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

课时作业(五十三)　定值问题 [基础保分练] 1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F2与抛物线y2＝4x的焦点重合，且其离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN中点为P，问kMN·kOP(O为坐标原点)是否为定值？请说明理由． 解：(1)抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)， ∴椭圆C的半焦距为c＝1， 又椭圆的离心率e＝＝，∴a＝2， 则b＝＝. ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y＝kx＋m， 联立得 (3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0. Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)>0，解得m2<4k2＋3. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝，y1y2＝k(x1＋x2)＋2m＝， ∴P(，)， ∴kOP＝＝－.∴kMN·kOP＝－. 2．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1，0)，T(3，0)，G(－3，2)，过点T的直线交抛物线于A，B两点． (1)求抛物线C的方程； (2)求证：kGA＋kGB－2kGT为定值． (1)解：由于焦点为(1，0)， ∴＝1，p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)证明：当直线AB斜率k不存在时， A(3，2)，B(3，－2)， 有kGA＋kGB－2kGT＝＋－＝0； 当直线AB斜率k存在时， 设直线AB方程为y＝k(x－3)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，消去y得 k2x2－(6k2＋4)x＋9k2＝0，Δ＝(6k2＋4)2－4×k2×9k2＝48k2＋16＞0， x1＋x2＝，x1x2＝9， 所以kGA＋kGB－2kGT＝＋＋ ＝＋ ＝＋ ＝＝0. 综上，kGA＋kGB－2kGT为定值0. 3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF2⊥F1F2，且|AF2|＝. (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m与l1，l2分别交于M，N两点，求证：∠MF1N为定值． (1)解：由AF2⊥F1F2，|AF2|＝，得＝. 又e＝＝，a2＝b2＋c2，所以a2＝9，b2＝8， 故椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明：由题意可知，l1的方程为x＝－3，l2的方程为x＝3. 直线l分别与直线l1，l2的方程联立得M(－3，－3k＋m)，N(3，3k＋m)， 所以＝(－2，－3k＋m)，＝(4，3k＋m)， 所以·＝－8＋m2－9k2. 联立得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0. 因为直线l与椭圆C相切， 所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)＝0， 化简得m2＝9k2＋8. 所以·＝－8＋m2－9k2＝0， 所以⊥，故∠MF1N为定值. [技能提分练] 4．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(4m，0)(m＞0，m为常数)，离心率等于0.8，过焦点F、倾斜角为θ的直线l交椭圆C于M，N两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若θ＝90°时，＋＝，求实数m； (3)试问＋的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论． 解：(1)由题意，c＝4m，＝0.8，∴a＝5m，b＝3m， ∴椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)当θ＝90°时，N(4m，m)，|NF|＝|MF|＝m， ∵＋＝，∴＝，∴m＝. (3)＋＝，与θ的大小无关．证明如下： 由(2)知，当斜率不存在时，＋＝； 当斜率存在时，设l：y＝k(x－4m)，代入椭圆方程得 (9＋25k2)x2－200mk2x＋25m2(16k2－9)＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， x1＋x2＝，x1x2＝， 则|MF|＝e(－x1)＝5m－x1，|NF|＝5m－x2， ∴＋＝＝与θ无关． 5．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点是F，若过焦点的直线与C相交于P，Q两点，所得弦长|PQ|的最小值为4. (1)求抛物线C的方程； (2)设A，B是抛物线C上两个不同的动点，O为坐标原点，若OA⊥OB，OM⊥AB，M为垂足，证明：存在定点N，使得|MN|为定值． (1)解：显然直线PQ的斜率不为0， 故可设PQ的方程为x＝my＋， 联立得y2－2mpy－p2＝0， 所以yP＋yQ＝2mp，yPyQ＝－p2. 所以xP＋xQ＝m(yP＋yQ)＋p＝2m2p＋p， |PQ|＝xP＋xQ＋p＝2m2p＋2p， 所以当m＝0时，|PQ|最小，所以2p＝4，p＝2. 故所求抛物线的方程为y2＝4x. (2)证明：直线AB的斜率不为0， 故可设直线AB的方程为x＝ty＋s，A