第8章 课时作业(52) 定点问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

课时作业(五十二)　定点问题 [基础保分练] 1．已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切，设动圆圆心P的轨迹为E. (1)求E的方程； (2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且·＝－16，求证：直线AB恒过定点． (1)解：由题意，动圆P与直线l：y＝－1相切，且与定圆M：x2＋(y－2)2＝1外切， 所以动点P到圆心M(0，2)的距离与到直线y＝－2的距离相等，由抛物线的定义知，点P的轨迹是以M(0，2)为焦点，直线y＝－2为准线的抛物线． 故所求P的轨迹E的方程为x2＝8y. (2)证明：易知直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线AB的方程代入到x2＝8y中得x2－8kx－8b＝0， 所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b. 又·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝－8b＋b2＝－16， 所以b＝4，则直线AB恒过定点(0，4)． 2．过点M(2，0)的直线l与抛物线C：y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，OA⊥OB. (1)求p的值； (2)若l与坐标轴不平行，且A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD恒过定点． (1)解：当直线l⊥x轴时，可得A(2，2)，B(2，－2)， 由AO⊥BO得4－4p＝0，可得p＝1； 当直线l与x轴不垂直时， 设l的方程为y＝k(x－2)代入y2＝2px得 ky2－2py－4pk＝0(k≠0)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－4p，x1x2＝＝4， 由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0， 即4－4p＝0，可得p＝1，综上所述p＝1. (2)证明：由(1)知抛物线方程为y2＝2x， 由于A，D关于x轴对称，故D的坐标为(x1，－y1)， 所以直线BD的方程为y＋y1＝(x－x1)＝(x－)， 即2x＋(y1－y2)y－y1y2＝0， 又y1y2＝－4p＝－4，所以2x＋(y1－y2)y＋4＝0， 可得直线BD恒过点(－2，0)． 3．已知椭圆C：＋＝1(a>b≥1)的离心率为，其上焦点到直线bx＋2ay－＝0的距离为. (1)求椭圆C的方程； (2)过点P(，0)的直线l交椭圆C于A，B两点．试探究以线段AB为直径的圆是否过定点．若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由． 解：(1)由题意得，e＝＝，又a2＝b2＋c2， 所以a＝b，c＝b. 又＝，a>b≥1，所以b＝1，a2＝2， 故椭圆C的方程为＋x2＝1. (2)当AB⊥x轴时，以线段AB为直径的圆的方程为(x－)2＋y2＝. 当AB⊥y轴时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1. 可得两圆交点为Q(－1，0)． 由此可知，若以线段AB为直径的圆恒过定点，则该定点为Q(－1，0)． 下证Q(－1，0)符合题意． 设直线l的斜率存在，且不为0，其方程为y＝k(x－)，代入＋x2＝1， 并整理得(k2＋2)x2－k2x＋k2－2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝， 所以·＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝x1x2＋x1＋x2＋1＋k2(x1－)(x2－)＝(1＋k2)x1x2＋(1－k2)(x1＋x2)＋1＋k2＝(1＋k2)·＋(1－k2)·＋1＋k2＝0， 故⊥，即Q(－1，0)在以线段AB为直径的圆上． 综上，以线段AB为直径的圆恒过定点(－1，0)． [技能提分练] 4．已知P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点，F2(1，0)，线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)记曲线C与x轴交于A，B两点，M是直线x＝1上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一个交点分别为D，E，求证：直线DE过定点H(4，0)． (1)解：∵线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q， ∴|QF2|＝|QP|， ∴|QF1|＋|QF2|＝|QF1|＋|QP|＝|PF1|＝4＞|F1F2|＝2， 所以点Q的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆， 故2a＝4，a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3 所以曲线C的方程为＋＝1. (2)证明：由(1)可得A(－2，0)，B(2，0)， 设点M的坐标为(1，m)， 直线MA的方程为y＝(x＋2)， 联立消去y整理得 (4m2＋27)x2＋16m2x＋16m2－108＝0， 设点D的坐标为(xD，yD)， 则－2xD＝，故xD＝， 则yD＝(xD＋2)＝， 直线MB的方程为y＝－m(x－2)， 联立消去y整理得 (4m2＋3)x2－16m2x＋16m2－12＝0. 设点E的坐标为(xE，yE)， 则2xE＝，故xE＝， 则yE＝－m