第7章 课时作业(38) 直线、平面垂直的判定与性质（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

课时作业(三十八)　直线、平面垂直的判定与性质 [基础保分练] 1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n C　解析：因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l. 2．(2022·浙江杭州师大附中模拟)已知平面α，β，直线m满足m⊄β，α⊥β，则“m⊥α”是“m∥β ”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：设α∩β＝n，若m⊥α，则过β内一点A作n的垂线，垂足为B， 因为α⊥β，α∩β＝n，AB⊂β，AB⊥n，故AB⊥α， 因为m⊥α，故AB∥m，而m⊄β，AB⊂β，故m∥β. 故命题“若m⊥α，则m∥β ”为真命题． 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中， 平面AA1D1D⊥平面ABCD， BC∥平面AA1D1D，但BC与平面ABCD不垂直． 故命题“若m∥β，则m⊥α”为假命题． 故“m⊥α”是“m∥β ”的充分不必要条件． 3．如图，在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列四个结论不成立的是(　　) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC D　解析：因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确；在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，PE∩AE＝E，所以BC⊥平面PAE，又DF∥BC，则DF⊥平面PAE，因为DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C正确． 4．已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝，AB＝4，若在棱AB上存在点P，使得D1P⊥PC，则AD的取值范围是(　　) A．(0，1] B．(0，2] C．(1，] D．[1，4) B　解析：连接DP(图略)，由D1P⊥PC，DD1⊥PC，且D1P，DD1是平面DD1P内两条相交直线，得PC⊥平面DD1P，故PC⊥DP，即点P在以CD为直径的圆上，又点P在AB上，则AB与圆有公共点，即0<AD≤CD＝2. 5．过正方体ABCD­A1B1C1D1顶点A作平面α，使α∥平面A1B1CD，A1D1和D1C1的中点分别为E和F，则直线EF与平面α所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． A　解析：连接A1C1，A1D，B1C，取B1C中点G，连接A1G，C1G，如图， ∵α∥平面A1B1CD，EF∥A1C1， ∴直线EF与平面α所成角即为A1C1与平面A1B1CD所成的角， ∵C1G⊥B1C，CD⊥C1G，B1C∩CD＝C， ∴C1G⊥平面A1B1CD， ∴∠C1A1G即为A1C1与平面A1B1CD所成的角， 设正方体棱长为2， ∴sin∠C1A1G＝＝＝. 6．若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的余弦值为________． 答案： 解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意πrl＝3πr2，即l＝3r，设母线与底面夹角为θ，则cos θ＝＝. 7．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足______时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可) 答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等) 解析：∵PA⊥底面ABCD， ∴BD⊥PA， 连接AC(图略)，则BD⊥AC.又PA∩AC＝A， ∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC. ∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD， 而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. 8.如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上．点P到直线CC1的距离的最小值为________． 答案： 解析：点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值．当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝＝. 9.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F. (1)求证：AB∥EF； (2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD. 证明：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD. 又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC， 所以AB∥平面PDC， 又因为AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF. (2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD. 由(1)知AB∥EF，又AF⊥EF，所以AB⊥AF. 由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D， 所以AF∩AD＝A