第7章 课时作业(41) 空间角及空间距离（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

课时作业(四十一)　空间角及空间距离 [基础保分练] 1．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB，∠ABC＝60°，四边形ACEF是矩形． (1)求证：AC⊥EB； (2)若CE＝BC，且CE⊥BC，求EB与平面FBD所成角的正弦值． (1)证明：在等腰梯形ABCD中，AD＝DC， ∴∠DAC＝∠DCA， 又AB∥CD，即∠DCA＝∠CAB， 所以∠DAC＝∠CAB，且∠DAB＝∠ABC＝60°， ∴∠CAB＝30°，∴∠BCA＝90°，即AC⊥BC. 又∵四边形ACEF是矩形，∴AC⊥EC. 又EC∩BC＝C，∴AC⊥平面ECB， 又EB⊂平面ECB，∴AC⊥EB. (2)解：由条件可知CA，CB，CE两两垂直，故可以点C为坐标原点，CA，CB，CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设CE＝BC＝2，则B(0，2，0)，D(，－1，0)，F(2，0，2)， E(0，0，2)． ∴＝(，－3，0)，＝(2，－2，2)． 设平面FBD的法向量n＝(x，y，z)， 则有即 令y＝1，得x＝，z＝－2， ∴平面FBD的一个法向量为n＝(，1，－2)， 设直线EB与平面FBD所成角为θ， 又＝(0，2，－2)，∴sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝， ∴EB与平面FBD所成角的正弦值为. 2．(2020·全国卷Ⅰ)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝DO. (1)证明：PA⊥平面PBC； (2)求二面角B­PC­E的余弦值． (1)证明：设DO＝a，由题设可得PO＝a，AO＝a，AB＝a，PA＝PB＝PC＝a. 因此PA2＋PB2＝AB2，从而PA⊥PB. 又PA2＋PC2＝AC2，故PA⊥PC.又PB∩PC＝P，PB，PC⊂平面PBC，所以PA⊥平面PBC. (2)解：以O为坐标原点，OE，OD所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 设OE＝1，可得E(0，1，0)，A(0，－1，0)，C(－，，0)，P(0，0，)， 所以＝(－，－，0)，＝(0，－1，)． 设m＝(x，y，z)是平面PCE的法向量， 则即 可取m＝(－，1，)． 由(1)知＝(0，1，)是平面PCB的一个法向量， 记n＝，则cos〈n，m〉＝＝. 所以二面角B­PC­E的余弦值为. 3．如图，已知△ABC是以AC为底边的等腰三角形，将△ABC绕AB转动到△PAB位置，使得平面PAB⊥平面ABC，连接PC，E，F分别是PA，CA的中点． (1)证明：EF⊥AB； (2)在①S△ABC＝3，②点P到平面ABC的距离为3，③直线PB与平面ABC所成的角为60°这三个条件中选择两个作为已知条件，求二面角E­BF­A的余弦值． (1)证明：如图①，过点E作ED⊥AB，垂足为D，连接DF，由题意知，△PAB≌△CAB，易证△EDA≌△FDA， 所以∠EDA＝∠FDA＝，即FD⊥AB， 因为ED⊥AB，ED∩FD＝D，所以AB⊥平面EFD， 又因为EF⊂平面EFD，所以EF⊥AB. 图① (2)解：过P作PO⊥AB，垂足为O，连接CO，则CO⊥AB，由平面PAB⊥平面ABC，交线为AB，所以PO⊥平面ABC.以O为坐标原点，以OA，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图②所示的空间直角坐标系． 图② 设AB＝a，∠ABC＝θ， 由条件①得S△ABC＝a2sin θ＝3，由条件②得PO＝asin θ＝3，由条件③得∠PBO＝60°，即θ＝120°. 若选条件①②，可求得a＝2. B(，0，0)，A(3，0，0)，P(0，0，3)，C(0，3，0)， 因而E(，0，)，F(，，0)， 所以＝(，，0)，＝(，0，)． 设平面BEF的一个法向量m＝(x，y，z)， 由得取m＝(－，1，1)， 又易知平面BFA的一个法向量n＝(0，0，1)， 故cos〈m，n〉＝＝＝， 所以二面角E­BF­A的余弦值为. 若选①③或②③均可求得a＝2，下同． 4．如图，在平面五边形ABCDE中，AB∥CE，且AE＝2，∠AEC＝60°，CD＝ED＝，cos∠EDC＝，将△CDE沿CE折起，使点D到P的位置，且AP＝，得到如图②所示的四棱锥P­ABCE. (1)求证：AP⊥平面ABCE； (2)求平面PAB与平面PCE所成锐二面角的大小． (1)证明：在△CDE中，因为CD＝ED＝，cos∠EDC＝， 由余弦定理可得 CE＝ ＝ ＝2， 连接AC，因为AE＝CE＝2，∠AEC＝60°，所以AC＝2， 又因为AP＝，故在△PAE中，AP2＋AE2＝PE2， 所以AP⊥AE.同理可证AP⊥AC. 又因为AC∩AE＝A，AE，AC⊂平面ABCE，