第7章 课时作业(40) 证明平行与垂直（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

课时作业(四十)　证明平行与垂直 [基础保分练] 1．已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A．P(2，3，3) B．P(－2，0，1) C．P(－4，4，0) D．P(3，－3，4) A　解析：逐一验证法，对于选项A，＝(1，4，1)，∴·n＝6－12＋6＝0，∴⊥n，∴点P在平面α内．同理可验证其他三个点不在平面α内． 2．(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．下列结论正确的有(　　) A．AP⊥AB B．AP⊥AD C．是平面ABCD的一个法向量 D．∥ ABC　解析：·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，∴⊥，即AP⊥AB，故A正确；·＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，∴⊥，即AP⊥AD，故B正确；由⊥，且⊥，得出是平面ABCD的一个法向量，故C正确；由是平面ABCD的法向量，得出⊥，则D错误． 3．如图，F是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有(　　) A．B1E＝EB B．B1E＝2EB C．B1E＝EB D．E与B重合 A　解析：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设E(2，2，z)，则＝(0，1，－2)，＝(2，2，z)，∵·＝0×2＋1×2－2z＝0，∴z＝1，∴B1E＝EB. 4．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(　　) A．(1，1，1) B．(，，1) C．(，，1) D．(，，1) C　解析：设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，又O是正方形ABCD对角线交点，∴M为线段EF的中点．在空间直角坐标系中，E(0，0，1)，F(，，1)．由中点坐标公式，知点M的坐标为(，，1)． 5．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．MN在平面BB1C1C内 B　解析：以点C1为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由于A1M＝AN＝，则M(a，，)，N(，，a)，＝(－，0，)． 又C1D1⊥平面BB1C1C， 所以＝(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量． 因为·＝0，所以⊥， 又MN⊄平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C. 6．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，MN＝________． 答案： 解析：连接PD(图略)， ∵M，N分别为CD，PC的中点， ∴MN＝PD，又P(0，0，1)，D(0，1，0)， ∴PD＝＝，∴MN＝. 7．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的长度之和为________． 答案：1 解析：以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE＝x，DF＝y， 则易知E(x，1，1)，B1(1，1，0)，F(0，0，1－y)，B(1，1，1)， ∴＝(x－1，0，1)，＝(1，1，y)，∵B1E⊥平面ABF， ∴·＝x－1＋y＝0，即x＋y＝1. 8．如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为________． 答案： 解析：以O点为坐标原点，OB，OS所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则A(0，－1，0)，M(0，0，)， 设P(x，y，0)，∴＝(0，1，)，＝(x，y，－)， 由·＝y－＝0，得y＝， ∴点P的轨迹方程为y＝. 根据圆的弦长公式，可得点P形成的轨迹长度为2＝. 9．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且＝λ. (1)求证：DB1⊥平面CD1O； (2)若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值． (1)证明：不妨设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，B1(1，1，1)，O(，，0)，C(0，1，0)，D1