第3章 课时作业(18) 利用导数研究函数的零点问题（Word练习）-【优化指导】2024高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A版 浙江专用）

课时作业(十八)　利用导数研究函数的零点问题 [基础保分练] 1．已知函数f(x)＝ex－kx(k∈R)． (1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间； (2)讨论函数f(x)的零点个数． 解：(1)当k＝1时，f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1， 令f′(x)＞0，则x＞0，f(x)单调递增； 令f′(x)＜0，则x＜0，f(x)单调递减． 故f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)， 单调递减区间为(－∞，0)． (2)设P(x0，y0)是函数y＝ex上一点， 由y＝ex得y′＝ex，所以y＝ex在点P处的切线方程是 y－ex0＝ex0(x－x0)， 令x＝y＝0，则x0＝1， 所以过原点作y＝ex的切线方程是y＝ex. 故当k＜0或k＝e时，函数f(x)有1个零点； 当k＞e时，函数f(x)有2个零点； 当0≤k＜e时，函数f(x)无零点． 2．已知函数f(x)＝x3－x2－ax－2的图象过点A(4，)． (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)若函数g(x)＝f(x)－2m＋3有3个零点，求m的取值范围． 解：(1)因为函数f(x)＝x3－x2－ax－2的图象过点A(4，)， 所以－4a－4a－2＝，解得a＝2， 即f(x)＝x3－x2－2x－2，所以f′(x)＝x2－x－2. 由f′(x)>0，得x<－1或x>2， 所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞)． (2)由(1)知f(x)极大值＝f(－1)＝－－＋2－2＝－， f(x)极小值＝f(2)＝－2－4－2＝－， 由数形结合可知，要使函数g(x)＝f(x)－2m＋3有三个零点， 则－<2m－3<－，解得－<m<. 所以m的取值范围为(－，)． 3．已知函数f(x)＝ex＋acos x，其中x＞0，e为自然对数的底数，a∈R. (1)当a＝－1时，讨论f(x)的单调性； (2)若函数f(x)的导函数f′(x)在(0，π)内有且仅有一个零点，求a的值． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝ex－cos x， 则f′(x)＝ex＋sin x， 由x＞0，则ex＞1，－1≤sin x≤1， ∴f′(x)>0，故函数f(x)在(0，＋∞)内单调递增． (2)由f′(x)＝ex－asin x＝0，得asin x＝ex， ∵x∈(0，π)，即sin x＞0， ∴a＝，令g(x)＝，0＜x＜π， 则g′(x)＝， 由g′(x)＝0，得x＝， 当0＜x＜时，g′(x)<0，g(x)在(0，)上单调递减； 当＜x＜π时，g′(x)>0，g(x)在(，π)上单调递增； 当x→0或x→π时，g(x)→＋∞. 故当x∈(0，)∪(，π)时， g(x)＝a有两个根，即f′(x)有两个零点， ∴a＝g()＝e. 4．(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明： (1)f(x)存在唯一的极值点； (2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 证明：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝＋ln x－1＝ln x－. 因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增， y＝在(0，＋∞)上单调递减， 所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增． 又f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－＝>0， 故存在唯一x0∈(1，2)，使得f′(x0)＝0. 又当x<x0时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 所以f(x)存在唯一的极值点． (2)由(1)知f(x0)<f(1)＝－2，又f(e2)＝e2－3>0， 所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝α. 由α>x0>1得<1<x0. 又f()＝(－1)ln－－1＝＝0， 故是f(x)＝0在(0，x0)内的唯一根． 所以f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． [技能提分练] 5．已知函数f(x)＝ln x＋－a(a∈R，b∈R)有最小值M，且M≥0. (1)求ea－1－b＋1的最大值； (2)当ea－1－b＋1取得最大值时，设F(b)＝－m(m∈R)，F(x)有两个零点为x1，x2(x1＜x2)，证明：x1x＞e3. (1)解：由题意知f′(x)＝－＝(x＞0)， 当b≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意； 当b>0时，令f′(x)＝0，得x＝b， 此时f(x)在(0，b)上单调递减，在(b，＋∞)上单调递增， M＝f(b)＝ln b＋1－a≥0，即ln b≥a－1， 所以b≥ea－1，ea－1－b≤0. 所以ea－1－b＋1的最大值为1. (2)证明：当ea－1－b＋1取得最大值时， a－1＝ln b，F(b)＝－m＝－m. F(x)的两个零点为x1，x2， 则－m＝0，－m＝0，