3.1.2第2课时椭圆的标准方程及性质的应用同步课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.1.2　椭圆的简单几何性质 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用 1 问题引入 我们研究过直线与圆的位置关系， 直线与圆的位置关系有几种？ 研究问题的方法是什么？ 椭圆也是一种二次曲线， 直线与椭圆的位置关系有几种？ 能不能利用研究直线与圆位置关系的方法研究直线与椭圆位置关系？ 新知探索 直线与椭圆的位置关系 通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，对解的个数进行讨论． 通常消去方程组中的一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程． (1)Δ＞0⇔直线与椭圆相交⇔有两个不同的公共点； (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点； (3)Δ＜0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点． 新知探索 弦长问题 通常将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x(或y)的一元二次方程， 然后利用根与系数的关系求弦长，从而绕过求直线与椭圆的交点坐标． 若直线y＝kx＋b与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则|AB|＝|x1－x2|＝ ·， 或|AB|＝·|y1－y2|＝ · . 新知探索 点与椭圆位置关系的判断方法 新知探索 椭圆的中点弦问题 (1)方程组法 联立直线方程与椭圆方程， 消去其中一个未知量后得到一个一元二次方程， 利用根与系数的关系(韦达定理)及中点坐标公式求解． y A B O x 新知探索 椭圆的中点弦问题 (2)点差法 设直线与椭圆＋＝1(m>0，n>0，m≠n)的交点(弦的端点) 坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点(x0，y0)， 将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差， 得到kAB＝＝－·＝－·． y A B O x 典例精析 题型一：直线与椭圆的位置关系 例1　已知直线y＝x＋m和椭圆4x2＋y2＝1.当直线与椭圆有公共点时， 求实数m的取值范围. 解　由方程组， 消去y，整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0. Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2. 由Δ≥0，得20－16m2≥0，解得－≤m≤. 例2 若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，求m的取值范围． 典例精析 题型一：直线与椭圆的位置关系 解　方法一：由，消去y， 得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0. ∵直线与椭圆总有公共点， ∴Δ＝100k2－20(m＋5k2)(1－m)≥0. 又∵m＞0，∴m≥1－5k2. 而1－5k2的最大值为1，则m≥1. 又m＜5，则1≤m＜5. 方法二：∵直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)， ∴若直线与椭圆总有公共点， 则点(0，1)不在椭圆外部． ∴＋≤1，又∵m＞0，∴m≥1. 又椭圆焦点在x轴上，∴m＜5. ∴1≤m＜5. 典例精析 题型一：直线与椭圆的位置关系 例3　已知直线l：x＋y＝6，P为椭圆＋＝1上一点，求P到l的最大距离． y O x 解　设直线x＋y＝m与椭圆相切， 由，消去y， 得5x2－8mx＋4m2－20＝0. 令Δ＝(－8m)2－4×5×(4m2－20)＝0， 得m＝5或m＝－5. ∴所求最大距离即为直线x＋y＝－5与直线l间的距离， ∴最大距离为＝. 例4　已知A(6，0)，B(0，6)，C为椭圆＋＝1上一点，求△ABC面积的最小值． 典例精析 题型一：直线与椭圆的位置关系 解　由题意知直线AB的方程为x＋y＝6， 设直线x＋y＝m与椭圆相切， 联立方程，消去y， 得5x2－8mx＋4m2－20＝0. 由Δ＝0，得m＝5或－5. ∴C到直线AB的最小距离为. ∴S△ABC的最小值为×|AB|＝3. 典例精析 题型二：弦长问题 例5　(1)已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点交椭圆于A，B两点，求弦AB的长． 解　设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 且椭圆方程中a2＝4，b2＝1，c2＝3， 所以右焦点的坐标为(，0)． 所以直线l的方程为y＝x－. 将上式代入＋y2＝1， 整理可得5x2－8x＋8＝0， 则Δ＝(－8)2－4×5×8＝32＞0， 故x1＋x2＝，x1x2＝. 所以|AB|＝|x1－x2| ＝× = . 跟踪练习 典例精析 题型二：弦长问题 (2)已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程． 解　设直线与椭圆交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)． 则x1，x2是方程5x2＋2mx＋m2－1＝0的两根． 由Δ＞0，得4m2－20(m2－1)＞0，解得m2＜. 由韦达定理，得x1＋x2＝－，x1·x2＝. ∴弦长＝ · ＝ ＝≤， 当且仅当m＝0时取等号， 此时直线方程为y＝x. 例6　已知一直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A，B两点，弦AB的中点坐标为M(1，1)，求直线AB的方程． 跟踪练习 典例精析 题型三：中点