3.1.2 椭圆的几何性质第1课时 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册　

3.1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的几何性质 第三章 圆锥曲线的方程 问题引入 与利用直线的方程、圆的方程研究 它们的几何性质一样， 我们利用椭圆的标准方程 研究椭圆的几何性质， 包括椭圆的范围、形状、大小、 对称性和特殊点等. 新知探索 椭圆的简单几何性质 1. 对称性 对于椭圆=1(a>b>0)标准方程，把 x 换成-x，或把 y 换成- y， 或把 x、y 同时换成- x、 - y，方程都不变， 所以椭圆=1(a>b>0)是以 x 轴、y轴为对称轴的轴对称图形， 且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心． 新知探索 椭圆的简单几何性质 2. 范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内， 所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b． 新知探索 椭圆的简单几何性质 3. 顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点． ②椭圆=1(a>b>0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点， 坐标分别为A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）． ③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b． a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 新知探索 椭圆的简单几何性质 4.离心率 ① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用 e 表示，记作e==． ② 因为 a＞c＞0，所以 e 的取值范围是 0＜e＜1．e 越接近1，则 c 就越接近 a，从而b=越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0， 从而 b 越接近于 a，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当 a = b 时，c = 0， 这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为 x2 + y2 = a2． 新知探索 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     标准方程 范围 ____________________ ____________________ －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 ______________________ ______________________ ______________________ ______________________ 轴长 短轴长＝ ，长轴长＝____ 焦点 焦距 |F1F2|＝ 对称性 对称轴： 　对称中心：_____ 离心率 e＝ ∈_____ A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 2b 2a x轴、y轴 原点 (0,1) 典例精析 题型一：由方程研究椭圆的几何性质 例1　求椭圆x2＋4y2＝16的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 解　由已知，方程可化为＋＝1. ∴a＝4，b＝2，c＝2. ∴长轴长为2a＝8，短轴长为2b＝4， 离心率e＝＝， 焦点坐标为F1(－2，0)，F2(2，0)， 四个顶点坐标分别为A1(－4，0)，A2(4，0)，B1(0，－2)，B2(0，2)． 例2　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标. 典例精析 题型一：由方程研究椭圆的几何性质 解　椭圆方程可化为＋＝1. (1)当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝， ∴e＝＝＝， ∴m＝3，∴b＝，c＝1， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)， 顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，). (2)当m>4时，a＝，b＝2，c＝， ∴e＝＝＝， ∴m＝，∴a＝，c＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是, 4，焦点坐标为F1(0, )，F2(0, )， 顶点坐标为A1(0, )，A2(0, )，B1(－2，0)，B2(2，). 例2　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标. 典例精析 题型一：由方程研究椭圆的几何性质 典例精析 题型二：由几何性质求方程 例3　根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程． (1)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6； (2)与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率e＝； (3)以直线3x＋4y－12＝0与两坐标轴的交点为一个顶点和一个焦点． 解　(1)依题意有b＝c＝6， ∴a2＝b2＋c2＝72. ∴所求的椭圆方程为＋＝1. (2)∵c＝＝，