6.1 走进异彩纷呈的数学建模世界6.2 数学建模——从自然走向理性之路（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（湘教版2019）

6．1　走进异彩纷呈的数学建模世界 6．2　数学建模——从自然走向理性之路 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 知识储备 素养奠基 问题探究 素养形成 课时作业 巩固提升 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 实际问题一直是数学发展的重要源泉，解决实际问题也一直是数学价值的重要体现．解决实际问题的重要手段就是数学建模．数学建模是一个重要的核心素养． 一、数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、构建模型、确立参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题． 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 数学建模主要表现为：发现和提出问题、建立和求解模型、检验和完善模型、分析和解决问题． 二、数学模型是对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据其特有的内在规律做出一些必要的简化假设，并运用合适的数学工具得到的一个数学结构．而数学建模过程，则是应用数学方法，通过建立数学模型来解决实际问题的过程． 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 三、通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，感悟数学与现实之间的关联，学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学建模在解决科学、社会、工程技术等问题中的作用；加深对数学内容的理解，学会交流与合作；提升应用能力，增强创新意识和科学精神． 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 (一)实例分析 1．问题描述 在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为15 s，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少辆汽车通过十字路口？ 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 2．建立模型 (1)建立的重要环节——模型假设 这个问题涉及动车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，而不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定，面对这些不同和不确定，就需要作出假设．经过对相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的几个假设： ①通过路口的车辆长度都相等； ②等待时，前后相邻两辆车的车距都相等； ③绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动； 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 ④前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等； ⑤车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞． (2)建模涉及的数据——收集 将车辆长度记作l，车距记作d，经过实际调查，取l＝5 m，d＝2 m较为合理． 另据调查，一般的汽车按照十字路口的加速状态，10 s内可从静止加速到21 m/s，加速度记作a，计算可得a＝2.1 m/s2，为了简化，这里取a＝2 m/s2.汽车加速到最高限速后，便以这个最高限速行驶． 资料显示，城市十字路口的限速v*＝40 km/h≈11.1 m/s. 延时时间记作T，经观察，取T＝1 s较为合理． 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 3.模型求解 代入各个量的参数值，可以计算出绿灯亮至15 s时若干辆汽车的位置，如下表. 汽车序号 1 2 3 4 5 6 7 8 位置/m 124.6 106.5 88.4 70.3 52.2 34.1 16.0 －2.1 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 由表可见，绿灯亮至15 s时，第7辆车已经驶过停车线16.0 m，但第8辆车还距停车线2.1 m，没有通过．因此，15 s的绿灯最多可以通过7辆汽车． 4．模型分析与检验 到十字路口实地调查，对结论做检验，若没有明显误差，就可以使用这个模型．否则，再修改假设，重新建模． 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 (二)建模步骤 数学建模的一般步骤 1．发现问题——描述问题——提出问题 实际情境中的问题往往是模糊的和笼统的，原始的问题往往是一个希望得到优化的期待，或是某个不良现象的消失．这就需要透过现象，明确地提出问题． 2．模型假设 在一定的知识积累的基础上，预测建立的数学模型，抓住主要因素，摒弃次要因素，做出适当简化和假设． 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 3．模型建立 在假设的基础上，用数学概念表示实际问题，用数学结构反映实际问题中各个量之间的关系．从不同角度、用不同知识表示同样的问题，就会得到不同的模型． 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 4．模型求解 这个过程是求解数学问题．值得注意的是，如果目标是求值，一般不容易求得精确值，这就要根据需要求近似解． 5．模