6.1 走进异彩纷呈的数学建模世界-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本高中数学讲义核心围绕数学模型的概念及建模过程展开，先明确数学模型是对现实对象的简化假设与数学结构，再通过哥尼斯堡七桥问题实例，展示从实际问题抽象为图形模型，运用一笔画定理解决的完整建模过程，构建“概念-实例-应用”的学习支架。 资料特色在于以经典案例（七桥问题等）为载体，通过“问题情境-抽象建模-推理解决”的教学逻辑，培养学生用数学眼光观察现实（从桥与陆地关系抽象图形）、用数学思维推理（分析奇偶顶点论证一笔画条件）、用数学语言表达（解决快递路线等实际问题）的核心素养。课中助力教师引导学生理解建模思想，课后应用体验帮助学生巩固知识，查漏补缺。

6.1　走进异彩纷呈的数学建模世界 学习目标 1.通过实际案例学习，了解数学建模在现实生活、科学发现中的作用，体会数学建模的核心素养. 2.了解万有引力定律的发现，马尔萨斯人口模型的发现，欧拉解决七桥问题的数学思想方法，初步学习数学建模的思想方法，提升数学建模核心素养. 一、数学模型的概念 数学模型是对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据其特有的内在规律做出一些必要的简化假设，并运用合适的数学工具得到的一个数学结构，而数学建模过程，则是应用数学方法，通过建立数学模型来解决实际问题的过程. 二、数学模型实例及分析 普雷格尔河穿过美丽的哥尼斯堡(现为俄罗斯的加里宁格勒).普雷格尔河有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，在河上有七座桥，如图. 岛上有古老的哥尼斯堡大学、知名的大教堂，居民经常到河岸和桥上散步.在18世纪初的一天，有人突发奇想：如何才能走过这七座桥，而每座桥都只能经过一次，最后又回到原来的出发点？人们开始沉迷于这个问题，在桥上来来回回不知走了多少次，却始终不得其解.这就是著名的哥尼斯堡七桥问题. 分析建立数学模型进行解答： 1.实际问题的数学表述 首先，欧拉想到的是列举法，就是把所有的走法都一一列出来，再一个一个验证.但是，他很快发现这样做太麻烦了，因为对七座桥的不同走法就有5 000多种，并且这种方法不具有通用性. 经过反复思考，欧拉想到：岛的形状、大小，以及桥的长短、宽窄并不影响结果，重要的是陆地、桥与岛这三者之间的位置关系.不妨把图中被河隔开的4块陆地看作4个点，连接陆地的7座桥看作7条线，就得到如图的图形.实际问题中的陆地、河流和桥梁景观就不见了，七桥问题就变成能否一笔画出此图形的问题.这就是欧拉对七桥问题建立起来的数学模型. 2.数学问题的解决 欧拉注意到，如果这样的图形能一笔画成，那么除去起点和终点外，其他的点都是“经过点”.“经过点”的特征是：只要从一条线进入这个点，就要从另一条线离开这个点.有进无出，只能是终点；有出无进，只能 学生用书⬇第155页 是起点.若以某一点为端点的线有偶数条，则称该点为偶顶点；否则称为奇顶点.显然“经过点”是偶顶点.如果起点和终点是同一个点，那么这个点也是偶顶点. 一笔画定理：一个由点和线组成的图形能一笔画完，必须符合以下两个条件： (1)图形是连在一起的，即是连通图形； (2)图形中的奇顶点个数为0或2. 3.用数学结论解答原问题 在七桥问题中，有4个奇顶点，不能一笔画，即不可能一次无重复地走完七座桥. [应用体验] 　甲、乙两个快递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局(C点).如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？ 解：由题图看出，只有A，C两个奇顶点，其余都是偶顶点，根据一笔画定理，甲从A出发，可以不重复地一次走完所有街道，而乙从B出发走完所有街道回到C点必须重复一段街道，故甲先回到邮局. 学科网（北京）股份有限公司 $