4.4.2 第2课时 平面与平面垂直的性质（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（湘教版2019）

第二课时　平面与平面垂直的性质 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 学习目标 1.掌握平面与平面垂直的性质定理，学会用定理证明垂直关系． (逻辑推理、直观想象) 2．熟悉线线垂直、线面垂直、面面垂直间判定和性质的转化． (逻辑推理) 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 知识导图 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 创新拓展 素养培优 课时作业 巩固提升 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 [问题导学] 预习教材，思考问题 面面垂直有哪些性质？有什么样的应用？　　 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 [知识梳理] 知识点一　平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果____________有一直线垂直于这两个平面的______，那么这条直线与另一个平面_______ 符号语言 ⇒a⊥β 一个平面内 交线 垂直 a⊂α a⊥l 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 图形语言 作用 ①面面垂直⇒_______垂直②作面的垂线 线面 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 微思考 如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗？ 提示：正确．若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线． 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 微练习 1．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是(　　) A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β B．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β C．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β D．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β D 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 解析：A项中缺少了条件l⊂α，故A错误． B项中缺少了条件α⊥β，故B错误． C项中缺少了条件α∩β＝m，l⊥m，故C错误． D项具备了面面垂直的性质定理中的全部条件，故D正确． 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 知识点二　线线垂直、线面垂直、面面垂直间判定和性质的转化 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 微练习 2．在四面体ABCD中，AB⊥AD，AB＝AD＝BC＝CD＝1，且平面 ABD⊥平面BCD，M为AB中点，则线段CM的长为________． 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 题型1　平面与平面垂直的性质的应用 [例1]　在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB. 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 [证明]　如图所示，在平面PAB内作AD⊥PB于点D. ∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB， ∴AD⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC. ∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB. 又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB. 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而转化为线线垂直问题. 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形， 所以BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD， 且平面ACEF∩平面ABCD＝AC， 所以BD⊥平面ACEF，所以BD⊥CF. 又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE. 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 题型2　线线、线面、面面垂直的综合应用 [例2]　如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA； 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 (2)平面BDM⊥平面ECA； 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 (3)平面DEA⊥平面ECA； [解]　(3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM⊂平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA. 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 (4)求平面ADE与平面ABC所成二面角的大小． 湘教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 ∠BAN＝∠B