4.4.2.2 平面与平面垂直的性质 -【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

第2课时　平面与平面垂直的性质 [学习目标]　1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的性质定理，并加以证明. 2.能用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系． 一、两个平面垂直的性质定理 问题　黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ 提示　找到黑板所在平面与地面所在平面的交线，在黑板上画出和该交线垂直的直线，则所画直线垂直于地面． 知识梳理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 若α⊥β，α∩β＝CD，AB⊂α，AB⊥CD，则AB⊥β 图形语言 例1　如图，已知V是△ABC所在平面外一点，VA⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VBC.求证：AB⊥BC. 证明　如图，在平面VAB内，过点A作AD⊥VB于点D. ∵平面VAB⊥平面VBC，且交线为VB， ∴AD⊥平面VBC. ∵BC⊂平面VBC， ∴AD⊥BC. ∵VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴VA⊥BC. ∵AD∩VA＝A，且VA，AD⊂平面VAB， ∴BC⊥平面VAB. ∵AB⊂平面VAB，∴AB⊥BC. 反思感悟　利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点 (1)两个平面垂直． (2)直线必须在其中一个平面内． (3)直线必须垂直于它们的交线． 跟踪训练1　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形， 其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．求证：BG⊥平面PAD. 证明　由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD， ∴PG⊥平面ABCD， ∵BG⊂平面ABCD，∴PG⊥BG. 又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°， ∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD. 又AD∩PG＝G，AD，PG⊂平面PAD， ∴BG⊥平面PAD. 二、线线垂直、线面垂直、面面垂直关系的转化 例2　如图，△ABC是边长为2的正三角形，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，BD⊥CD，且AE＝1. (1)求证：AE∥平面BCD； (2)求证：平面BDE⊥平面CDE. 证明　(1)取BC的中点M，连接DM，AM， 因为BD＝CD，且BD⊥CD，BC＝2， 所以DM＝1，DM⊥BC. 又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，DM⊂平面BCD，所以DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM， 又DM⊂平面BCD，AE⊄平面BCD， 所以AE∥平面BCD. (2)由(1)知AE∥DM，又AE＝1，DM＝1， 所以四边形DMAE是平行四边形，所以DE∥AM. 因为△ABC为正三角形，所以AM⊥BC. 又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，AM⊂平面ABC， 所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD. 又CD⊂平面BCD，所以DE⊥CD. 因为BD⊥CD，BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE，所以CD⊥平面BDE. 因为CD⊂平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE. 反思感悟　在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下： 跟踪训练2　如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2. 求证：BF⊥平面ACFD. 证明　延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示． 因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，AC⊂平面ABC，所以AC⊥平面BCK， 又BF⊂平面BCK，因此BF⊥AC. 又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2， 所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK. 又CK∩AC＝C，CK，AC⊂平面ACFD， 所以BF⊥平面ACFD. 三、折叠问题 例3　如图1所示，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD⊥CD，BC＝2，AD＝3，CD＝，边AD上一点E满足DE＝1.现将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使平面A1BE⊥平面BCDE，如图2所示． (1)求证：A1C⊥BE； (2)求平面A1BE与平面A1CD所成锐二面角的余弦值． (1)证明　在图1中，连接CE，如图3所示， 易求CE＝BC＝BE＝AE＝AB＝2. 所以四边形ABCE为菱形． 连接AC交BE于点O，则AC⊥BE. 所以在图4中，A1O⊥BE，OC⊥BE. 又A1O∩OC＝O，A1O，OC⊂平面A1OC， 所以BE⊥平面A1OC. 又A1C⊂平面A1OC， 所以A1C⊥BE. (2)解　在图2中延长BE，CD，设BE∩CD＝G，连接A1G，CE，如图4所示． 因为G∈平面A1BE，G∈平面A1CD， 又A1∈平面A1BE，A1∈平面A1CD， 所以A1G是平面A1BE与平面A1CD的交线． 因为平面A1BE⊥平面BCDE，OC⊥BE，平面A1BE∩平面BCDE＝BE，OC⊂平面BCDE， 所以OC⊥平面A1BE. 又A1G⊂平面A1BE， 所以OC⊥A1G. 作OH⊥A1G，垂足为H，连接CH. 又OH∩OC＝O， 所以A1G⊥平面OCH，又CH⊂平面OCH， 所以A1G⊥CH. 所以∠OHC即为平面A1BE与平面A1CD所成锐二面角的平面角． 由(1)知，△A1BE，△BCE都为等边三角形， 所以OC＝. 因为△GDE∽△GCB，所以＝＝， 解得GE＝2， 所以A1B＝A1E＝BE＝GE＝2， 所以∠GA1E＝∠A1GB＝30°，∠BA1G＝90°， 所以A1B⊥A1G 所以OH∥A1B，△OHG∽△BA1G， 所以＝＝， 解得OH＝. 又OC⊥平面A1BE，OH⊂平面A1BE， 所以OC⊥OH， 在Rt△COH中， CH＝＝＝. 所以cos∠OHC＝＝＝， 所以平面A1BE与平面A1CD所成锐二面角的余弦值为. 反思感悟　解决折叠问题的策略 (1)抓住折叠前后的变量与不变量，一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键． (2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况．注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度、角度的变化情况． 跟踪训练3　如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝4，∠BAD＝60°，E为AB的中点，将△ADE沿直线DE折起到△PDE的位置，使平面PDE⊥平面BCDE. (1)证明：平面PCE⊥平面PDE； (2)设F为线段PC的中点，求点F到平面PDE的距离． (1)证明　因为AB＝2AD，E为AB的中点， 则AE＝AD. 又∠BAD＝60°，则△ADE为正三角形， 所以∠AED＝60°. 因为BE＝BC，∠CBE＝120°， 则∠CEB＝30°. 从而∠CED＝180°－∠AED－∠CEB＝90°， 即CE⊥DE. 因为平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，CE⊂平面BCDE， 所以CE⊥平面PDE. 由CE⊂平面PCE，得平面PCE⊥平面PDE. (2)解　取PE的中点G， 连接FG. 因为F为PC的中点， 则FG∥CE，且FG＝CE， 所以FG⊥平面PDE， 所以点F到平面PDE的距离为FG. 在△BCE中，BE＝BC＝2，∠CBE＝120°， 则CE2＝4＋4－2×2×2cos 120°＝12， 即CE＝2，所以FG＝， 即点F到平面PDE的距离为. 1．知识清单： (1)平面与平面垂直的性质定理． (2)三种垂直关系的相互转化． (3)折叠问题． 2．方法归纳：转化与化归、数形结合． 3．常见误区：对于折叠问题，常因不明白折叠前后量的变化而出错． 1．已知平面α⊥平面β，点A∈α，则过点A且垂直于平面β的直线(　　) A．只有一条，不一定在平面α内 B．有无数条，不一定在平面α内 C．只有一条，一定在平面α内 D．有无数条，一定在平面α内 答案　C 解析　根据面面垂直的性质定理可知，当平面α⊥平面β时，过点A垂直于平面β的直线，在平面α内只有一条，所以C选项是正确的． 2．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则(　　) A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l D．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直 答案　D 解析　对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错误；对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交或在平面α内，故B错误；对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错误；D正确． 3．(多选)设m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　　) A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β C．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β D．若α⊥β，则存在直线m⊂α，使m⊥β 答案　CD 解析　A中，m，n可能为平行、垂直或异面直线；B选项缺少了条件l⊂α；C选项具备面面垂直的性质定理的全部条件；当m⊂α且直线m与两垂直平面的交线垂直时，一定有m⊥β，因此D正确． 4.如图所示，在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是 ________三角形． 答案　直角 解析　设P在平面ABC上的射影为O，连接OA，OB，OC(图略)． 因为平面PAB⊥底面ABC， 平面PAB∩平面ABC＝AB， 所以O∈AB. 因为PA＝PB＝PC， 所以OA＝OB＝OC， 所以O是△ABC的外心，且是AB的中点， 所以△ABC是直角三角形． 1．设平面α⊥平面β，平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则(　　) A．直线a必垂直于平面β B．直线b必垂直于平面α C．直线a不一定垂直于平面β D．过a的平面与过b的平面垂直 答案　C 解析　当α⊥β时，在平面α内垂直于交线的直线才垂直于平面β，因此，垂直于平面β内的一条直线b的直线不一定垂直于β. 2．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥平面α，平面γ⊥平面β，则(　　) A．l∥平面γ B．l⊂平面γ C．l与平面γ斜交 D．l⊥平面γ 答案　D 解析　设平面γ∩平面β＝m，平面γ∩平面α＝n，在平面γ内取一点O，作OE⊥m，OF⊥n，由于平面β⊥平面γ，所以OE⊥平面β，又l⊂平面β，所以OE⊥l，同理OF⊥l，又OE∩OF＝O，且OE，OF⊂平面γ，所以l⊥平面γ. 3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 答案　A 解析　若存在1条直线与平面β垂直，则α⊥β，与已知矛盾，所以平面α内不存在与平面β垂直的直线． 4．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么(　　) A．a与b可能垂直，但不可能平行 B．a与b可能垂直，也可能平行 C．a与b不可能垂直，但可能平行 D．a与b不可能垂直，也不可能平行 答案　C 解析　假设a⊥b，可过a上一点A向l引垂线，垂足为B，则AB⊥β，因为b⊂β，所以AB⊥b，于是b⊥α，从而b⊥l，与已知矛盾，所以a与b不可能垂直，排除A，B；当a∥l，b∥l时，有a∥b，故C正确，D不正确． 5.如图所示，在三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则(　　) A．PD⊂平面ABC B．PD⊥平面ABC C．PD与平面ABC相交但不垂直 D．PD∥平面ABC 答案　B 解析　因为PA＝PB，AD＝DB， 所以PD⊥AB. 又因为平面ABC⊥平面PAB， 平面ABC∩平面PAB＝AB，PD⊂平面PAB， 所以PD⊥平面ABC. 6.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影点H必在(　　) A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部 答案　A 解析　连接AC1(图略)．∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴点C1在平面ABC上的射影点H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上． 7.如图，在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成角的大小是________． 答案　45° 解析　过点A作AO⊥BD于点O， ∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD， ∴AO⊥平面BCD，则∠ADO为AD与平面BCD所成的角． ∵∠BAD＝90°，AB＝AD， ∴∠ADO＝45°. 8．如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝________. 答案　2 解析　如图，取AB的中点E，连接DE，CE， 因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB. 当平面ADB⊥平面ABC时， 平面ADB∩平面ABC＝AB， 因为DE⊂平面ABD， 所以DE⊥平面ABC. 又CE⊂平面ABC，可知DE⊥CE. 由已知可得DE＝，EC＝1， 在Rt△DEC中，CD＝＝2. 9.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.PA与BD是否互相垂直？请证明你的结论． 解　PA与BD互相垂直．证明如下： 如图，取BC的中点O，连接PO，AO.∵PB＝PC，∴PO⊥BC， 又侧面PBC⊥底面ABCD， 平面PBC∩平面ABCD＝BC，PO⊂平面PBC， ∴PO⊥底面ABCD，又BD⊂平面ABCD， ∴PO⊥BD. 在直角梯形ABCD中， 易证Rt△ABO ≌Rt△BCD， ∠BAO＝∠CBD，∠CBD＋∠ABD＝90°， ∴∠BAO＋∠ABD＝90°，∴AO⊥BD， 又PO∩AO＝O，且PO，AO⊂平面PAO， ∴BD⊥平面PAO， 又PA⊂平面PAO，∴BD⊥PA， 即PA与BD互相垂直． 10．如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC.求证：BC⊥平面ACD. 证明　如图(1)，在梯形ABCD中，AD＝CD＝2，∠ADC＝90°， 过C作CE⊥AB，垂足为E(图略)， ∴四边形AECD为正方形，∴CE＝AE＝EB＝2， ∴∠ACE＝∠BCE＝45°， ∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC， 如图(2)，平面ACD⊥平面ABC， 平面ACD∩平面ABC＝AC， 又BC⊂平面ABC且BC⊥AC， ∴BC⊥平面ACD. 11．(多选)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出如下命题，其中正确的是(　　) A．若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β B．若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α C．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α D．若α⊥β，m∥α，则m⊥β 答案　AC 解析　根据平面与平面垂直的性质知A正确；B中，m还可能在α内或m∥α或m与α斜交，不正确；C中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只可能有m∥α，正确；D中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．故选AC. 12.如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是(　　) A．一条线段 B．一条直线 C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点 答案　D 解析　因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC， 平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC， 所以AC⊥平面PBC. 又因为BC⊂平面PBC， 所以AC⊥BC，即∠ACB＝90°. 所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点． 13.(多选)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论成立的是(　　) A．PE⊥AC B．PE⊥BC C．平面PBE⊥平面ABCD D．平面PBE⊥平面PAD 答案　ABC 解析　因为PA＝PD，E为AD的中点， 所以PE⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD， PE⊂平面PAD， 所以PE⊥平面ABCD， 又AC，BC⊂平面ABCD， 所以PE⊥AC，PE⊥BC， 所以A，B成立； 又PE⊂平面PBE， 所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立； 若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立． 14.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面的交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB∶A′B′＝________. 答案　2∶1 解析　连接AB′和A′B(图略)，∵α⊥β，α∩β＝A′B′，BB′⊥A′B′，BB′⊂β，∴BB′⊥α， ∴AB与平面α所成的角为∠BAB′＝， 同理，AB与平面β所成的角为∠ABA′＝， 设AB＝2a，则BB′＝2asin ＝a， A′B＝2acos ＝a， ∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a， ∴AB∶A′B′＝2∶1. 15．如图，△ABC是正三角形，E，F分别为线段AB，AC上的动点，现将△AEF沿EF折起，使平面AEF⊥平面BCFE，设＝λ，当AE⊥CF时，λ的值为________． 答案　2或 解析　如图所示，过A作AH⊥EF于H， 由平面AEF⊥平面BCFE可得AH⊥平面BCFE， 又CF⊂平面BCFE， 所以AH⊥CF， 又AE⊥CF，故可证得CF⊥平面AEF. 所以CF⊥EF，由图可得，此时H必与F重合，则∠AFE是直角． 所以∠AEF＝30°，所以AE＝2AF，故λ＝2. 又当AE垂直于底面时显然满足题意， 此时有AF＝2AE，故此情况下有λ＝. 16．如图1，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM＝2MD.将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图2，点E是线段AM的中点． (1)求证：平面BDE⊥平面ABCM； (2)过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面ABCM；②l⊥AD.请说明理由． (1)证明　由已知得DA＝DM，E是AM的中点， 所以DE⊥AM. 因为平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，DE⊂平面ADM， 所以DE⊥平面ABCM. 又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCM. (2)解　过B点存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面ABCM；②l⊥AD. 理由如下： 在平面ABCM中， 过点B作直线l，使l⊥AM(图略)． 因为平面ADM⊥平面ABCM，平面ABCM∩平面ADM＝AM，l⊂平面ABCM， 所以l⊥平面ADM， 又AD⊂平面ADM，所以l⊥AD. 学科网（北京）股份有限公司 $$