3.1.1椭圆及其标准方程 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.1 椭圆及其标准方程 第三章 圆锥曲线的方程 问题引入 椭圆是圆锥曲线的一种， 具有丰富的几何性质， 在科研生产和人类生活中 具有广泛的应用， 我们要利用这些特征建立椭圆的方程， 从而为研究椭圆的几何性质奠定基础. 新知探索 椭圆的定义 如果把细绳的两端分别固定在图板的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ F2 F1 新知探索 椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和 等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹 叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距， 焦距的一半称为半焦距． 新知探索 椭圆的定义 动点M到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是 ，则动点M的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹 A 10 8 7 F1 M F2 B F1 F2 D 新知探索 椭圆的标准方程 x O y M F1 F2 ①建系：以两定点所在直线为x轴， 线段F1F2中垂线为y轴， 建立平面直角坐标系Oxy ②设点：设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . ③坐标化： 新知探索 椭圆的标准方程 ④化简： 两边平方得 两边同除以 得 新知探索 椭圆的标准方程 你能在图中找出 表示a，c， ， 的线段吗？ 椭圆的标准方程： O y F1 F2 M P x 新知探索 椭圆的标准方程 x y F1 F2 P O 以F1F2所在直线为y轴，以线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系. 焦点在x轴上得到的等式 焦点在y轴上得到的等式 新知探索 椭圆的标准方程   焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 _________________ _________________ 图形     焦点坐标 ____________________ ____________________ a，b，c的关系 __________ F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) b2＝a2－c2 典例精析 题型一：求椭圆的标准方程 例1 根据下列条件,求椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0); (2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0); 解 (1)因为椭圆的焦点在x轴上, 所以设它的标准方程为=1(a>b>0). 因为2a==10,所以a=5. 又c=4,所以b2=a2-c2=25-16=9. 故所求椭圆的标准方程为=1. (2) 设它的标准方程为=1(a>b>0). 又椭圆经过点(0,2)和(1,0), 所以解得 故所求椭圆的标准方程为+x2=1. 典例精析 题型一：求椭圆的标准方程 例1 根据下列条件,求椭圆的标准方程: (3)经过点A(,-2)和点B(-2,1). (3)(方法1)①当焦点在x轴上时, 设椭圆的标准方程为=1(a>b>0). 依题意有解得 故所求椭圆的标准方程为=1. ②当焦点在y轴上时, 设椭圆的标准方程为=1(a>b>0). 依题意有解得 因为不满足a>b>0,所以无解. 综上可知,所求椭圆的标准方程为=1. 典例精析 题型一：求椭圆的标准方程 例1 根据下列条件,求椭圆的标准方程: (3)经过点A(,-2)和点B(-2,1). (方法2)设所求椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n), 依题意有解得 故所求椭圆的标准方程为=1. 典例精析 题型二：椭圆的定义及其应用 例2　已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积. 解　由已知得a＝2，b＝， 所以c＝＝3， 从而|F1F2|＝2c＝6， 在△PF1F2中， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|. ① 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4， 即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|. ② 由①②得|PF1|·|PF2|＝4. 所以＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝. 例3 如图,已知经过椭圆=1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴,交椭圆于A,B两点, F1是椭圆的左焦点. (1)求△AF1B的周长. (2)如果AB不垂直于x轴,△AF1B的周长有变化吗?为什么? 典例精析 题型二：椭圆的