12.1&12.2 定义与命题以及证明-【帮课堂】2022-2023学年七年级数学下册同步精品讲义（苏科版）

定义与命题 知识点一、定义 定义：对名称或术语的含义进行描述或作出规定，就是给出它们的定义. 1. 定义是严密的，要避免使用一些含糊不清的词语，如“大概”“差不多”等； 2. 定义是几何推理的依据，既可以当性质用，也可以当判定用，是我们思考问题的出发点和目标. 例：下列语句中，是定义的是（　　） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 C．三角形的角平分线是一条线段 D．同角的余角相等 【分析】根据定义的概念判断即可． 【解答】解：A、两点确定一条直线，是公理，不是定义，不符合题意； B、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，是平行线的定义，符合题意； C、三角形的角平分线是一条线段，不是定义，不符合题意； D、同角的余角相等，是性质，不是定义，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是命题和定理，掌握定义的概念是解题的关键． 知识点二、命题 1. 命题：判断一个事情的句子叫做命题. 命题的含义：①命题必须是一个完整的句子；②这个句子必须能对某件事情作出肯定或者否定的判断. （1）命题通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句，而疑问句和祈使句等都不是命题； （2）判断一个语句是不是命题，不要与判断正误混淆，错误的判断也是一个命题. 2. 命题的组成：命题一般是由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. 3. 命题的表达形式 一般情况下，命题的条件是用“如果”，“若”等字样引出，命题的结论是用“那么”“则”等字样引出。若命题不具有“如果…那么…”的形式，则一般先将命题改写成“如果…那么…”的形式，再来确定命题的条件和结论. PS：在改写命题时，不仅是在原命题中添上如果”和“那么”，还要使和结论改写后命题的实质不变，与改写前的命题的内容保持一致. 例：请将命题“邻补角互补”写成“如果…那么…”的形式： 　． 【分析】分清题目的已知与结论，即可解答． 【解答】解：把命题“邻补角互补”改写为“如果…那么…”的形式是：如果两个角是邻补角．那么这两个角互补， 故答案为：如果两个角是邻补角．那么这两个角互补． 【点评】本题主要考查了命题的定义，把命题写成“如果…那么…”的形式，关键是找准题设和结论． 知识点三、真假命题 1. 真命题：有些命题，如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题. 要说明一个命题是真命题，可先举特例验证，特例成立，还不能说明其是真命题，而要将命题转化为一般形式，再用演绎推理的方法说明结论正确 2. 假命题：有些命题，条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立。像这样的命题叫做假命题. 要说明一个命题是假命题，只需举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子即可. 例：用一组a，b的值说明“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，这组值可以是a＝　 　，b＝　　． 【分析】举出一个反例：a＝﹣1，b＝﹣2，说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是错误的即可． 【解答】解：当a＝﹣1，b＝﹣2时，满足a＞b，但是a2＜b2， ∴命题“若a＞b，则a2＞b2”是错误的． 故答案为：﹣1、﹣2．（答案不唯一） 【点评】此题主要考查了命题与定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 知识点四、定理与证明 1. 证明：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明。 2 定理：经过证明的真命题称为定理注意定理一定是真命题，但真命题不一定是定理. 3. 证明与图形有关的命题，一般有以下步骤： 第一步：根据题意，画出图形； 第二步：根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证； 第三步：写出证明的过程 知识点五、三角形内角和定理 1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 2. 三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角多的和拓展三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角。 3. 三角形内角和定理的证明思路： 证明三角形内角和定理的方法有很多，基本思路是：把三角形的三个内角“搬”到一起组成一个平角，以便利用平角的定义证明结论。为了实现这个基本思路，完成证明，需要添加辅助线。过某一顶点作该顶点所对的边所在直线的平行线是常用方法，通过作平行线，利用平行线的性质，将三个角合并成一个平角即可证明 巩固练习 一．选择题（共9小题） 1．对于命题“若a+b＜0，则a＜0，b＜0”，下列能说明该命题是假命题的是（　　） A．a＝6，b＝8 B．a＝﹣6，b＝8 C．a＝6，b＝﹣8 D．a＝﹣6，b＝﹣8 2．下列选项中，可以用来说明命题“若a＞b，则a2＞b2”属于假命题的反例是