13.2.2 第2课时 空间两条直线的位置关系(2)（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（苏教版2019）

第二课时　空间两条直线的位置关系(2) 苏教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 学习目标 知识导图 1.了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线相互垂直并证明空间中的直线垂直．(直观想象、逻辑推理) 2．会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角．(逻辑推理、数学运算) 苏教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 创新拓展 素养培优 课时作业 巩固提升 苏教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 苏教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 [知识梳理] 知识点一　异面直线的判定与几何表示 画法 图形表示如图所示(通常用一个或两个平面衬托) 判定 文字表述 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内 的直线是异面直线 定理 符号表述 若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线AB与l是异面直线 不经过该点 苏教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 微练习 异面直线是指(　　) A．空间中两条不相交的直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线 C．平面内的一条直线与平面外的一条直线 D．空间中既不平行也不相交的两条直线 苏教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 解析：对于A，空间两条不相交的直线有两种 可能，一是平行(共面)，另一个是异面，所以 A应排除；对于B，分别位于两个平面内的直 线，既可能平行也可能相交也可能异面，如图 所示，就是相交的情况，所以B应排除；对于C，如图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，所以C应排除；只有D符合定义． 答案：D 苏教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 知识点二　异面直线所成的角 定义 a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的 叫作异面直线a，b所成的角或夹角 范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90° 特殊 情况 当θ＝ 时，a与b互相垂直，记作a⊥b 锐角或直角 90° 苏教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 微思考 若直线a与b互相垂直，那么直线a与b共面，这种说法对吗？ 提示：不正确．两条直线的垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直．相交垂直时直线a与b共面；异面垂直时，直线a与b不共面． 苏教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 题型1　异面直线的判定 [例1]　如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号) [答案]　②④ 苏教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 判定两条直线是异面直线的方法 (1)证明两条直线既不平行又不相交. (2)定理：连接平面内一点与平面外一点的直 线，和这个平面内不经过此点的直线是异面 直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，B∉l，l⊂α，则AB与l是异面直线(如图). 苏教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 [跟踪训练] (多选)如图，E，F是AD上互异的两点，G，H是BC上互异的两点，由图可知，其中叙述正确的是(　　) A．AB与CD互为异面直线 B．FH分别与DC，DB互为异面直线 C．EG与FH互为异面直线 D．EG与AB互为异面直线 答案：AC 苏教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 题型2　直线与直线垂直的证明 [例2]　如图，正方体ABCD­A1B1C1D1，求证：AC⊥B1D. 苏教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 [证明]　如图，连接BD，交AC于O， 设BB1的中点为E，连接OE，则OE∥DB1， 所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角． 连接AE，CE，易证AE＝CE， 又O是AC的中点，所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D. 苏教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 证明空间的两条直线垂直的方法 (1)定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直. (2)平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等. 苏教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 [跟踪训练] 在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1. 苏教数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 证明：如图，连接A1B，设A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，因为三棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱， 所以∠