专题09 解答压轴题型：导数与数列新定义-2023年高考数学二模考试真题分项汇编（北京专用）

专题09 解答压轴题型：导数与数列新定义 一、解答题 1．（2023·北京西城·统考二模）已知函数． (1)求在区间上的最大值和最小值； (2)若恒成立，求实数的值． 2．（2023·北京昌平·统考二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上有最小值，求的取值范围； (3)如果存在，使得当时，恒有成立，求的取值范围. 3．（2023·北京东城·统考二模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值； (3)设实数使得对恒成立，写出的最大整数值，并说明理由. 4．（2023·北京朝阳·二模）已知函数. (1)当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）证明：； (2)若函数的极大值大于0，求a的取值范围. 5．（2023·北京海淀·统考二模）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：； (3)若函数在区间上无零点，求a的取值范围． 6．（2023·北京房山·统考二模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的最小值； (3)证明： 7．（2023·北京丰台·统考二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是增函数，求a的取值范围； (3)证明：有最小值，且最小值小于． 8．（2023·北京丰台·统考二模）已知等比数列的公比为q（），其所有项构成集合A，等差数列的公差为d（），其所有项构成集合B．令，集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列． (1)若集合，写出一组符合题意的数列和； (2)若，数列为无穷数列，，且数列的前5项成公比为p的等比数列．当时，求p的值； (3)若数列是首项为1的无穷数列，求证：“存在无穷数列，使”的充要条件是“d是正有理数”． 9．（2023·北京海淀·统考二模）设为整数．有穷数列的各项均为正整数，其项数为m（）．若满足如下两个性质，则称为数列：①，且；② (1)若为数列，且，求m； (2)若为数列，求的所有可能值； (3)若对任意的数列，均有，求d的最小值． 10．（2023·北京朝阳·二模）已知无穷数列满足，其中表示x，y中最大的数，表示x，y中最小的数. (1)当，时，写出的所有可能值； (2)若数列中的项存在最大值，证明：0为数列中的项； (3)若，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由. 11．（2023·北京东城·统考二模）已知有穷数列中的每一项都是不大于的正整数.对于满足的整数，令集合.记集合中元素的个数为（约定空集的元素个数为0）. (1)若，求及； (2)若，求证：互不相同； (3)已知，若对任意的正整数都有或，求的值. 12．（2023·北京昌平·统考二模）若数列满足，则称数列为数列.记. (1)写出一个满足，且的数列； (2)若，证明：数列是递增数列的充要条件是； (3)对任意给定的整数，是否存在首项为1的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由. 13．（2023·北京西城·统考二模）给定奇数，设是的数阵．表示数阵第行第列的数，且．定义变换为“将数阵中第行和第列的数都乘以”，其中．设．将经过变换得到，经过变换得到，，经过变换得到．记数阵中的个数为． (1)当时，设，，写出，并求； (2)当时，对给定的数阵，证明：是的倍数； (3)证明：对给定的数阵，总存在，使得． 14．（2023·北京房山·统考二模）若项数为的有穷数列满足：，且对任意的，或是数列中的项，则称数列具有性质． (1)判断数列是否具有性质，并说明理由； (2)设数列具有性质，是中的任意一项，证明：一定是中的项； (3)若数列具有性质，证明：当时，数列是等差数列． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 解答压轴题型：导数与数列新定义 一、解答题 1．（2023·北京西城·统考二模）已知函数． (1)求在区间上的最大值和最小值； (2)若恒成立，求实数的值． 【答案】(1)最小值为，最大值为；(2) 【分析】（1）先求的导函数，再根据导函数在区间上的正负确定的单调性，从而可求其在给定区间的最大与最小值； （2）设，由已知得，当时，；当时，，从而可得，当时，；当时，，所以，得，再证明当时，恒成立即可． 【详解】（1）因为，                     所以在区间上单调递增．                         所以的最小值为；的最大值为． （2）的定义域为． 由（1）知，且在上单调递增， 所以当时，；当时，．             设． 若恒成立，则当时，；当时，． 所以，即，解得．                     下面证明：当时，恒成