11.4.1 第2课时 直线与平面垂直的性质及应用（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册同步导学案（人教B版2019）

第2课时　直线与平面垂直的性质及应用 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 内容标准 学科素养 1.理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用线面垂直的性质定理解决有关的垂直问题． 2．了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法. 直观想象 逻辑推理 数学运算 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 平行 a∥b 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行，②作平行线 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 知识点二　直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 如果A是平面α外一点，C是平面α内一点，且AC与α不垂直，则称AC是平面α的斜线段(相应地，直线AC称为平面α的斜线) 斜足 C称为斜足 射影 过斜线上斜足以外的一点A向平面α引 AB，过垂足B和斜足C的直线CB叫做斜线在这个平面上的射影 垂线 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 有关概念 对应图形 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 ；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是 . 直线与平面所成的角θ的取值范围是______________ 射影 90° 0° 0°≤θ≤90° 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 [自主检测] 1．下列命题： ①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直． 其中正确的个数是(　　) A．0　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 D 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 2．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面(　　) A．有且只有一个 B．可能存在也可能不存在 C．有无数多个 D．一定不存在 解析：当a⊥b时，这样的平面存在，当a和b不垂直时，这样的平面不存在． B 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　) A．60°　　　　　　　 B．45° C．30° D．120° A 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 4．体积为6的正四棱锥P－ABCD的底面正方形的边长为2，则顶点P到底面ABCD的距离为________． 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 直线与平面垂直的性质 例1　如图所示，正方体A1B1C1D1－ABCD中， EF与异面直线AC，A1D都垂直相交． 求证：EF∥BD1. 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 [证明]　如图所示： 连接AB1，B1D1，B1C，BD. ∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1. 又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1. 同理可证BD1⊥B1C.又B1C∩AC＝C， ∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C. 又AC∩B1C＝C， ∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1. 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 直线与平面垂直的其他性质 (1)如果一条直线垂直于一个平面，那么它就垂直于这个平面内的任意一条直线． (2)两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面． (3)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面． (4)垂直于同一条直线的两个平面平行． 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 1．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD， 求证：l∥AE. 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD. 又CD⊥AD，PA∩AD＝A， ∴CD⊥平面PAD. 又∵AE⊂平面PAD， ∴AE⊥DC. 又∵AE⊥PD，PD∩CD＝D， ∴AE⊥平面PCD. 又∵l⊥平面PCD，∴l∥AE. 人B数学 必修第四册 返回导航 下页 上页 直线与平面所成的角 例2　在正