2021年上海市复旦大学强基计划数学试卷

2021年上海市复旦大学强基计划数学试卷 参考答案与试题解析 1．【解答】解：根据内心和外心的概念，三角形的内心是三个内角平分线的交点，外心是三边的垂直平分线的交点， 再根据等边三角形中三线合一性质， 所以一个三角形的外心与内心恰好重合，这个三角形是正三角形，反之亦成立， 所以p是q的充要条件． 2．【解答】解：①若f（x）恒为1，则 成立，∴必要性成立， ②当 时，则f（x+）+f（x+2）＝2， ∴f（x）＝f（x+2），∴T＝2， 令A＝{m+2n，m，n∈Z}，B＝{m+（2n+1），m，n∈Z}，C＝∁R（A∪B）， 令f（x）＝，k∈Z且k≠﹣1， 则满足，但f（x）不恒为1，∴充分性不成立， ∴命题p是命题q的必要不充分条件． 3．【解答】解：由题意可得， 可得CD＝，BD＝， 又∠BAD＝∠DAC， 所以由余弦定理可得＝，可得＝， 解得AD2＝，解得AD＝． 4．【解答】解：要想得到展开式中的常数项，只需： ①当x2的指数为1时，则的指数为2，此时只需的展开式中出现y2项，即•， 故此时常数项为••＝1680； ②当x2的指数为2时，则的指数为4，此时只需的展开式中出现y4项，显然不可能； 故所求常数项为1680． 5．【解答】解：∵0≤n≤18，19m+n＝20212022， ∴20212022≡72022（mod19）， ∵73≡1（mod19）， ∴20212022＝1（mod19）． 综上，n＝1． 故答案为：1． 6．【解答】解：由于BF1＝BA，AF1的中点为H，则显然又BH⊥AF1，结论1正确； 作∠F1BF2的平分线交F1F2于点C，则由BH⊥BC， 由角平分线的性质有＝＝e， 设椭圆+＝1（a＞b＞0），B（x0，y0）， 可得|BF1|＝ex0+a． 所以|CF1|＝e2x0+c， 所以C（e2x0，0）， 可得kBC＝，则kBH＝﹣， 可得BH：+＝1为椭圆的切线，结论2正确． 7．【解答】解：g（x）＝（x+[x]+2﹣[x+|x|]+2）＝（x+[x]﹣[x+|x|]）+1， 下面解不等式0＜g（x）＜1，分两大类：即若x≤0和x＞0时， （1）若x≤0，则g（x）＝（x+[x]）+1， （i）当﹣1≤x≤0时，0＜g（x）＝（x﹣1）+1＜1，则x∈（﹣3，1），即x∈[﹣1，0）； （ii）当﹣2≤x＜﹣1时，0＜g（x）＝，则x∈（﹣2，2），即x∈（﹣2，﹣1）； （iii）当x＜﹣2时，g（x）＜（﹣2﹣2）+1＝0，原不等式无解； （iV）当x＝0时，g（x）＝1，故原不等式无解． （2）若x＞0，则g（x）＝（x+[x]﹣[2x]）+1， 设x＝k+α，其中k∈N，α∈[0，1]， 则g（x）＝＝（α﹣[2α]）+1， （i）当时，0＜g（x）＝， 则α∈（﹣3，1），即α∈[，1）； （ii）当时，0＜g（x）＝，则α∈（﹣4，0），原不等式无解． 综上，不等式0＜g（x）＜1的解集为（﹣2，0）∪[k+，k+1），（k∈Z）， ∴不等式0＜g（f（x））＜1的解集满足f（x）＝log2x∈（﹣2，0）∪[k+，k+1），（k∈N）， 解得x∈（k∈N）． 8．【解答】解：由题意，（18x+4y+9z）≡2021（mod9），即4y≡5（mod9），故y＝9r+8，r∈N， 代入原方程得：2x+4r+z＝221，① 则2x+4r+z＝221（mod4），即2x+z＝1（mod4）， 故或，其中s，p∈N， （注：这里第一个取x＝2（p+1）是为了保证p∈N）． 代入方程①可得：p+r+s＝54或p+r+s＝54，其中r，s，p∈N． （注：两类不同的解，转化后形式一致） 根据隔板法该不定方程的解共有2＝3080组． 9．【解答】解：由已知可得，即动点（x，y）到定点（3，﹣6）与到定直线x+y＝0的距离比为定值， 由圆锥曲线的第二定义可知动点（x，y）的轨迹为以（3，﹣6）为焦点，x+y＝0为准线，离心率为的椭圆． 10．【解答】解：如图， S＝4（S△EOD﹣S扇形OAB﹣S△AOC）， ∵OE＝OD＝，OA＝＝OC， ∴•h＝， 由余弦定理得cos∠AOC＝﹣1， 由题意得， ∴S扇形OAB＝＝arcsin（）， ∴由曲线，x2+y2≥2围成的面积为： S＝2π﹣4arcsin（）﹣2＝4arccos（）﹣2． 11．【解答】解：根据极坐标与直角坐标的关系可得， ∴x2+y2＝ρ2＝θ2，又＝tanθ，∴θ＝arctan（）， 那么 x2+y2＝arctan2（），是一条螺旋线． 12．【解答】解：令， 则由， 得bn+2+4bn+1﹣12bn＝0，即bn+2﹣2bn+1+6（bn+1﹣2bn）＝0， ∴数列{bn+1﹣2bn}是以b2﹣2b1为首项，以﹣6为公