【期末培优课堂】第9章《整式乘法与因式分解》-2022-2023学年七年级数学下册高频易错核心专题复习手册（苏科版）

第9章 整式乘法与因式分解 知识点01 同底数幂的乘法 1.交换律与结合律 (交换律) (结合律) 2.单项式乘单项式 (1)法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 (2)单项式乘以单项式的运算步骤：①系数：把它们的系数相乘，包括它们的符号；②同底数幂：同底数幂相乘；③只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 【微点拨】 ①应先确定积的符号； ②注意按运算顺序进行； ③不要丢掉只有一个单项式里含有的字母。知识点 单项式乘多项式 上图中的面积 或者 联立两个式子可得： 法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 ； 【微点拨】单项式与多项式相乘的依据是乘法分配律，先将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式，再转化为同底数幂相乘；单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，运算时可以以此来检验是否漏乘。 知识点02 多项式乘多项式 多项式乘多项式的推导： 上图面积； 或者； 联立得：= 法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即：； 【微点拨】 ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； ②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积； ③多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，运算过程中要注意先确定积中各项的符号； ④相乘后，若有同类项应该合并。 知识点03 完全平方公式 上图中正方形的面积 或者 联立得： (1)符号表述：两数和的完全平方公式 两数差的完全平方公式 (2)语言描述：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们积的2倍。 (3)①公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式；②公式可以逆运用； 知识点04 平方差公式 左图中 联立得：= (1)符号表述： (2)语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差； 【微点拨】 ①公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式； ②公式可以逆运用； 知识点05 提公因式法分解因式 1.概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作把这个多项式分解因式。 2.因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式是积化和，因式分解则是和化积。 3.因式分解的结果要以积的形式表示，否则不是因式分解；因式分解中每个括号内如有同类项要合并，因式分解的结果要求必须将每个因式分解彻底。 4.公因式：多项式的各项中都含有的公共因式叫作这个多项式的公因式。确定公因式时，一看系数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；二看字母，取各项相同的字母；三看指数，取相同字母的最低次幂；最后还要根据情况确定符号。 5.提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。(注意：①所提公因式必须是最大公因式；②如果多项式的首相系数是负数，应先提出“-”号；③如果多项式的某一项恰好与公因式相同，那么提公因式后此项为1，而不是0) 知识点06 公式法分解因式 1.用平方差公式分解因式：(公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式) 2.用完全平方公式分解因式：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方，即：，；公式中的和可以是实数，也可以是单项式或多项式。 【微点拨】因式分解的一般步骤：一提；二套；三试；四分；五查。 利用十字交叉线来分解系数，将二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法，主要分为以下两类： 知识点07 十字相乘法因式分解 1. 二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法 对首项是1的二次三项式的十字相乘法主要就是要能够运用公式进行因式分解. 对于二次三项式，若存在则，即把常数项分解成两个数的积，且其和刚好等于一次项系数. 技巧1：在对分解因式时，先从常数项c的正负入手：若，则、同号，若，则、异号，然后根据一次项系数的正负进一步确定、的符号； 技巧2：若中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积，然后再考虑这两个整数和能否等于一次项系数(再分解时，要考虑分解的多种可能，直至凑对为止). 2. 二次项系数不为1的十字相乘 在二次三项式中，如果二次项系数a可以分解成两个因数的积，常数项c也可以分解成两个因数的积，即，将、、、按照以下进行排列： 按照斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式一次项系数b，即，那么二次三项式就可以分解成两个因式与之积，即. PS：若二次项系数是负数，可以先提个负号，分解括号里面的二次三项式，最后