2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． （1）填空：_______； （2）设抛物线的顶点是D，连接，，将绕点B顺时针旋转，当射线经过点D时，射线与抛物线交于点P，求点P的坐标； （3）设E是x轴上位于点B右侧的一点，F是第一象限内一点，轴且，点H是线段上一点，以、为邻边作矩形，，垂足为T，连接，．若与相似，求的长． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点A(1，0)和点B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点D是抛物线对称轴上一点，对称轴与x轴交于点E，与直线BC交于点F． （1）求抛物线的解析式； （2）连接BD，当以点B，D，E为顶点的三角形与△OAC相似时，求点D的坐标； （3）当点D关于直线BC的对称点G落在抛物线上时，直接写出点G的坐标． 3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴正半轴交于点A、点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点记为D，ABC的面积为10． （1）求此抛物线的解析式； （2）求∠BCD的正弦值； （3）将此抛物线沿y轴上下平移，所得新抛物线的顶点为P，且PBD与BCD相似，求平移后的新抛物线的解析式． 4．如图1，在平面直角坐标xoy系中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A（﹣4，0）、B（2，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，沿直线AC平移抛物线y＝－x2＋bx＋c，使得A、C两点的对应点E、F始终在直线AC上． ①设在平移过程中抛物线与y轴交于点M，求点M纵坐标的最大值； ②试探究抛物线在平移过程中，是否存在这样的点E，使得以A、E、B为顶点的三角形与△ABF相似．若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由． 5．抛物线L：与轴交于A，B两点（A点在B点左侧），与y轴正半轴交于点C，顶点为D，且OC=2OB． （1）求抛物线L的解析式； （2）如图，过定点的直线（）与抛物线L交于点E、F． 若DEF的面积等于1，求k的值； （3）如图2，将抛物线L向下平移m（）个单位长度得到抛物线，抛物线与y轴正半轴交于点M，过点M作y轴的垂线交抛物线于另一点N，G为抛物线的对称轴与x轴的交点，P为线段OM上一点． 若PMN与POG相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标． 6．如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，连接AC，BC，DA，DB，DB与AC相交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，设的面积为，的面积为，当时，求点D的坐标； （3）如图，过点C作轴，点M是直线CF上的一点，交抛物线于点N，是否存在以C，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线经过A，B两点，并与x轴交于另一点C，抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点E为对称轴右侧的抛物线上的点． ①点F在抛物线的对称轴上，且EFx轴，若以点D，E，F为顶点的三角形与△ABD相似，求出此时点E的坐标； ②点G在平面内，则以点A，B，E，G为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出此时点E的坐标；若不能，请说明理由． 8．如图，点A，B都在x轴上，过点A作x轴的垂线交抛物线于点C，过点B作x轴的垂线交该抛物线于点D，点C，D都在第一象限，点D在点C的右侧，于点E，连结，，． （1）若，求的长． （2）若点A是线段的中点，求点E的坐标． （3）根据（2）的条件，连结，动点P在线段上，作交于点Q，当与相似时，求的值． 9．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A(﹣1，0)、B(3，0)两点，交y轴于点C，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第一象限抛物线上一点，设P点的横坐标为m．过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，连接PE，当PDE和BOC相似时，求点P的坐标； （3）连接AC，Q是线段BC上一动点，过Q作QF⊥AC于F，QG⊥AB于G，连接FG．请直接写出FG的最小值和此时点Q的坐标． 10．如图，抛物线与x轴交于A（-1，0），B（5 ，0）两点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）若PE=3+4EF，求m的值； （3）是否存在点P，使得△PCE与△DEF相似．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．