6.1.4 数乘向量 6.1.5 向量的线性运算（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（人教B版2019）

6.1.4　数乘向量 6．1.5　向量的线性运算 返回导航 下页 上页 人B数学必修第二册 1 内容标准 学科素养 1.理解向量的数乘运算及其几何意义. 数学运算 逻辑推理 直观想象 2.会利用向量共线定理判断三点共线及线线平行. 返回导航 下页 上页 人B数学必修第二册 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 返回导航 下页 上页 人B数学必修第二册 知识点一　数乘向量 (1)定义：实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，λa的长度|λa|＝|λ|·|a|.若a≠0，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．当λ＝0或a＝0时，λa＝0. (2)数乘向量的几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小． 返回导航 下页 上页 人B数学必修第二册 (3)数乘向量的运算律 设λ、μ为实数，则 ①(λ＋μ)a＝ ； ②λ(μa)＝(λμ)a； ③λ(a＋b)＝ . (4)向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运 算． λa＋μa λa＋λb 返回导航 下页 上页 人B数学必修第二册 返回导航 下页 上页 人B数学必修第二册 1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　) A．a－2b　　　　　　　　 B．a C．a－6b D．a－8b D 返回导航 下页 上页 人B数学必修第二册 2．已知λ∈R，则下列结论正确的是(　　) A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0 解析：由数乘向量的意义，知A、B均不对，C正确，对D应为|λa|＝|λ||a|≥0. C 返回导航 下页 上页 人B数学必修第二册 0 4．已知向量a＝2e，b＝－e，则a与b________.(填“共线”或“不共线”) 共线 返回导航 下页 上页 人B数学必修第二册 　数乘向量的概念 ①②③ 返回导航 下页 上页 人B数学必修第二册 返回导航 下页 上页 人B数学必修第二册 ③按照相反向量的定义可以判断正确． ④∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b， ∴a－b与－(b－a)为相等向量． ∴④不正确． 返回导航 下页 上页 人B数学必修第二册 　对于数乘运算，要认识到任意实数λ与任意向量a的乘积λa仍是向量 ，要明确两向量的关系，应从两方面入手，一是方向，二是长度． 返回导航 下页 上页 人B数学必修第二册 　已知m∈R，下列说法正确的是________． ①若ma＝0，则必有a＝0； ②若m≠0，a≠0，则ma与a方向相同； ③m≠0，a≠0，则|ma|＝m|a|； ④若m≠0，a≠0，则ma与a共线． 解析：当m＝0，a≠0时，ma＝0，故①错误，m≠0，a≠0时，ma与a的方向相同或相反，|ma|＝|m|·|a|，故②③错误，只有④正确． ④ 返回导航 下页 上页 人B数学必修第二册 　向量的线性运算 例2　化简：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； [解析]　(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a) ＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. 返回导航 下页 上页 人B数学必修第二册 返回导航 下页 上页 人B数学必修第二册 　向量线性运算的基本方法 (1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． 返回导航 下页 上页 人B数学必修第二册 　计算下列各式： (1)4(a＋b)－3(a－b)； 解析：(1)4(a＋b)－3(a－b)＝4a－3a＋4b＋3b＝a＋7b. (2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)； 解析：(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c) ＝3a－6b＋3c－2a－b＋3c＝a－7b＋6c. 返回导航 下页 上页 人B数学必修第二册 返回导航 下页 上页 人B数学必修第二册 返回导航 下页 上页 人B数学必修第二册 返回导航 下页 上页 人B数学必修第二册 返回导航 下页 上页 人B数学必修第二册 返回导航 下页 上页 人B数学必修第二册 返回导航 下页 上页 人