第5章 一元函数的导数及其应用突破真题 链接高考（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（人教A版2019）

人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 1．(2021·新高考Ⅰ卷)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则(　　) A．eb<a　　　　　　 B．ea<b C．0<a<eb D．0<b<ea 导数的几何意义及应用 D 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 解析：易知曲线y＝ex在点P(t，et)处的切线方程为y－et＝et(x－t)， ∵切线过点(a，b)，∴b－et＝et(a－t)， 整理得et(t－a－1)＋b＝0. 令f(t)＝et(t－a－1)＋b， 则f′(t)＝et(t－a)， 当t<a时，f′(t)<0，当t>a时，f′(t)>0， ∴f(t)在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增， ∴当t＝a时，f(t)取得最小值f(a)＝－ea＋b. 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 由已知得，f(t)的零点的个数即为过点(a，b)的切线条数， ∴f(t)有且仅有2个零点． ∴f(a)＝－ea＋b<0， 即b<ea. ①若b≤0，则当t<a时，t－a－1<0，et(t－a－1)<0，则f(t)<0， ∴f(t)在(－∞，a)上无零点，而f(t)在[a，＋∞)上至多有一个零点，不合题意． 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 D 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 利用导数研究函数的性质 D 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 4．(2020·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝2ln x＋1. (1)若f(x)≤2x＋c，求c的取值范围； 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 5．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝ln(a－x)，已知x＝0是函数y＝xf(x)的极值点． (1)求a； 利用导数解决不等式问题 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 ∴当x∈(－∞，0)时，p(x)>0； 当x∈(0,1)时，p(x)<0， ∴函数y＝xf(x)＝xln(1－x)在(－∞，0)上为增函数，在(0,1)上为减函数． ∴当a＝1时，x＝0是函数y＝xf(x)的极值点．∴a＝1. 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 只需证x＋ln(1－x)>xln(1－x)， 只需证x＋(1－x)ln(1－x)>0， 令h(x)＝x＋(1－x)ln(1－x)， 则h′(x)＝1－ln(1－x)－1＝－ln(1－x)， ∴当x∈(0,1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增， 当x∈(－∞，0)时，h′(x)<0，h(x)单调递减， ∴当x∈(－∞，0)∪(0,1)时，h(x)>h(0)＝0， ∴x＋(1－x)ln(1－x)>0在(－∞，0)∪(0,1)上恒成立． ∴g(x)<1. 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 C 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 解析：由题意知当x≤1时，f(x)≥0恒成立，即x2－2ax＋2a＝(x－a)2＋2a－a2≥0恒成立． 当a≥1时，f(x)在(－∞，1]上单调递减，f(x)min＝f(1)＝1>0成立； 当a<1时，f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a,1)上单调递增，f(x)min＝f(a)＝a2－2a2＋2a≥0，解得0≤a≤2，故0≤a<1.所以a≥0. 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 7．(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x－1－aln x. (1)若f(x)≥0，求a的值； 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增． 故x＝a是f(x)在(0，＋∞)上的唯一最小值点． 由于f(1)＝0，所以当且仅当a＝1时，f(x)≥0. 故a＝1. 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 导数与函数的零点问题 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 (2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y＝ln x在点A(x0，ln x0 )处的切线也是曲线y＝ex的切线． 人教A版数学 选择性必修 第二册