第5章 微专题2 双变量问题（课件）-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（人教A版2019）

微专题2　双变量问题 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 函数的双变量问题是近几年来高考试卷中“热门”试题之一，这类试题不仅形式多样，而且联系的知识面较广，构造思维要求较高，因此这类问题的解决方法也是多种多样的．在处理导数的综合题时，我们经常会遇到在某个范围内都可以任意变动的双变量问题，由于两个变量都在变，学生往往不知把哪个变量当成自变量进行研究，导致无法展开思路，造成无从下手，下面我们谈一谈这类问题的解题思路． 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 对于题目涉及的两个变元，已知其中一个变元在题设给定的范围内任意变动，求另外变元的取值范围问题，这类问题我们称之为“伪双变量”问题．这种“伪双变量”问题，往往会利用我们将字母x作为自变量的误区来进行设计．此时，我们变更主元思路，将另一个变量作为自变量，从而使问题得以解决，我们称这种方法为变更主元法． 主元法 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 [例1]　已知函数f(x)＝ex(sin x－ax2＋2a－e)． (1)当a＝0时，讨论函数f(x)的单调性； 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 [例2]　已知函数f(x)＝ln x－ax＋b，其中a，b∈R. (1)讨论f(x)的单调性； 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 (2)若a＝1，b∈[0,2]，使得对任意的实数x∈[1，e]，恒有f(x)≥kx－xln x－1成立，求k的取值范围． [解]　(2)若a＝1，b∈[0,2]，使得对任意的实数x∈[1，e]， f(x)≥kx－xln x－1恒成立等价于ln x－x＋b≥kx－xln x－1， 即b＋1＋(1＋x)ln x－(k＋1)x≥0. 令g(b)＝b＋1＋(1＋x)ln x－(k＋1)x，b∈[0,2]， g(b)为一次函数且在[0,2]上单调递增， 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 ①当k≤0时，h′(x)min＝h′(1)＝1－k>0，则h(x)在[1，e]上单调递增， ∴h(x)≥h(1)＝－k≥0，符合题意． ②当k>0时，当x＝1时，h(1)＝－k<0，不符合题意． 综上所述，k的取值范围是(－∞，0]． 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 (2)若对任意的a≤0，f(x)≤bln(x＋1)在x∈[0，＋∞)上恒成立，求实数b的取值范围． [解]　(2)将a当作主元． f(x)＝(x2＋1)e－x·a＋x·e－x， 令g(a)＝(x2＋1)e－x·a＋x·e－x， 则g(a)在a∈(－∞，0]上单调递增， 故g(a)＝(x2＋1)e－x·a＋x·e－x≤g(0)＝x·e－x. 原不等式转化为x·e－x≤bln(x＋1)对∀x∈[0，＋∞)恒成立． 情形一：当b≤0时，∀x∈[0，＋∞)， 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 则p(x)在[0，＋∞)上单调递增． ①当b－1≥0，即b≥1时，p(x)≥p(0)＝b－1≥0， 所以h′(x)≥0，h(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以∀x∈[0，＋∞)，h(x)≥h(0)＝0恒成立； ②当0<b<1时，因为p(0)＝b－1<0，p(1)＝be>0及p(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以存在唯一的x0∈(0,1)使得p(x0)＝0，且x∈(0，x0)时，p(x)<0， 从而x∈(0，x0)时，h′(x)<0，h(x)在区间(0，x0)上单调递减， 故h(x)<h(0)＝0，不符合题意． 综上所述，实数b的取值范围是[1，＋∞)． 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 对题目中出现的双变量通常有两种思路：一是通过整体代换变为只有一个变量的函数式；二是通过两个变量的关系引入新的变量，变成只有新变量的函数式． 双变量转化为单变量 人教A版数学 选择性必修 第二册 下页 上页 角度一　同构法解决双变量问题 [例4]　已知函数f(x)＝kx(1－ln x)，其中k为非零实数． (1)求f(x)的极值； [解]　(1)f(x)＝kx(1－ln x)，其中k为非零实数，f′(x)＝－kln